Номер 252, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

252. Найдите радиус окружности, по которой пересекаются сферы, учитывая, что их радиусы равны $R$, а расстояние между центрами — $1,6R$.

Пусть даны две сферы с одинаковым радиусом $R$. Обозначим центры этих сфер как $O_1$ и $O_2$. Расстояние между центрами, по условию, равно $d = 1.6R$.

Когда две сферы пересекаются, их линия пересечения является окружностью. Эта окружность лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку, соединяющему центры сфер $O_1O_2$.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через центры сфер $O_1$ и $O_2$. В этом сечении мы получим две пересекающиеся окружности радиуса $R$. Пусть $A$ — одна из точек пересечения этих окружностей. Тогда $O_1A = R$ и $O_2A = R$.

Треугольник $\triangle O_1AO_2$ является равнобедренным, так как $O_1A = O_2A = R$.

Радиус $r$ окружности пересечения — это высота этого треугольника, проведенная из вершины $A$ к основанию $O_1O_2$. Обозначим основание этой высоты как точку $H$. Таким образом, $AH = r$.

Поскольку треугольник $\triangle O_1AO_2$ равнобедренный, высота $AH$ является также и медианой. Это означает, что точка $H$ — середина отрезка $O_1O_2$.

Следовательно, длина отрезка $O_1H$ равна половине расстояния между центрами: $O_1H = \frac{d}{2} = \frac{1.6R}{2} = 0.8R$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1HA$. Его катеты — это $O_1H$ и $AH=r$, а гипотенуза — $O_1A=R$.

По теореме Пифагора: $(O_1A)^2 = (O_1H)^2 + (AH)^2$

Подставим известные значения: $R^2 = (0.8R)^2 + r^2$

Выразим $r^2$: $r^2 = R^2 - (0.8R)^2$ $r^2 = R^2 - 0.64R^2$ $r^2 = 0.36R^2$

Теперь найдем $r$, извлекая квадратный корень: $r = \sqrt{0.36R^2} = 0.6R$

Ответ: $0.6R$.