Номер 259, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

259. Точка $M$ находится в плоскости, которая касается сферы с радиусом $R$ в точке $A$. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния от точки $M$ до точек сферы, учитывая, что:

a) $MA = 15 \text{ см}$ и $R = 112 \text{ см}$;

б) $MA = 16 \text{ см}$ и $R = 63 \text{ см}$.

Пусть O — центр сферы, а R — ее радиус. Плоскость, в которой находится точка M, касается сферы в точке A. По свойству касательной плоскости, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой плоскости. Следовательно, радиус $OA$ перпендикулярен плоскости касания.

Так как точка M лежит в той же плоскости, что и точка A, отрезок $MA$ также лежит в этой плоскости. Поскольку радиус $OA$ перпендикулярен всей плоскости, он перпендикулярен и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку A. Таким образом, $OA \perp MA$.

Это означает, что треугольник $\triangle OAM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине A. Расстояние от точки M до центра сферы O, то есть длина отрезка $OM$, является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$OM^2 = OA^2 + MA^2$

$OM = \sqrt{R^2 + MA^2}$

Наименьшее и наибольшее расстояния от внешней точки M до точек сферы находятся на прямой, соединяющей эту точку с центром сферы O.

• Наименьшее расстояние ($d_{min}$) — это расстояние от точки M до ближайшей точки на сфере. Оно равно разности между расстоянием до центра ($OM$) и радиусом ($R$):
  $d_{min} = OM - R = \sqrt{R^2 + MA^2} - R$
• Наибольшее расстояние ($d_{max}$) — это расстояние от точки M до самой дальней точки на сфере. Оно равно сумме расстояния до центра ($OM$) и радиуса ($R$):
  $d_{max} = OM + R = \sqrt{R^2 + MA^2} + R$

Теперь решим для каждого случая.

а) $MA = 15$ см и $R = 112$ см.

1. Находим расстояние от точки M до центра сферы O:

$OM = \sqrt{112^2 + 15^2} = \sqrt{12544 + 225} = \sqrt{12769} = 113$ см.

2. Находим наименьшее расстояние от точки M до точек сферы:

$d_{min} = OM - R = 113 - 112 = 1$ см.

3. Находим наибольшее расстояние от точки M до точек сферы:

$d_{max} = OM + R = 113 + 112 = 225$ см.

Ответ: наименьшее расстояние 1 см, наибольшее расстояние 225 см.

б) $MA = 16$ см и $R = 63$ см.

1. Находим расстояние от точки M до центра сферы O:

$OM = \sqrt{63^2 + 16^2} = \sqrt{3969 + 256} = \sqrt{4225} = 65$ см.

2. Находим наименьшее расстояние от точки M до точек сферы:

$d_{min} = OM - R = 65 - 63 = 2$ см.

3. Находим наибольшее расстояние от точки M до точек сферы:

$d_{max} = OM + R = 65 + 63 = 128$ см.

Ответ: наименьшее расстояние 2 см, наибольшее расстояние 128 см.