Номер 254, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

254. Средний радиус Земли равен 6371 км. Телевизионные волны распространяются по прямой. Определите, на каком расстоянии можно принять телепередачу, учитывая, что высота телевизионной башни станции равна:

а) 150 м;

б) 308 м;

в) 537 м.

Для решения задачи необходимо определить расстояние прямой видимости от вершины телевизионной башни до линии горизонта. Поскольку телевизионные волны распространяются по прямой, это расстояние и будет максимальной дальностью приема телепередачи. Ситуацию можно смоделировать геометрически.

Рассмотрим сечение Земли, проходящее через ее центр и телевизионную башню. В этом сечении мы получаем прямоугольный треугольник, вершинами которого являются: центр Земли (O), вершина башни (A) и точка на горизонте (B). Прямой угол находится в точке B, так как линия видимости (AB) является касательной к поверхности Земли, а радиус (OB) перпендикулярен касательной в точке касания.

Гипотенуза этого треугольника OA равна сумме радиуса Земли $R$ и высоты башни $h$. Катетами являются радиус Земли $R$ (отрезок OB) и искомое расстояние до горизонта $d$ (отрезок AB).

По теореме Пифагора:
$(R+h)^2 = R^2 + d^2$

Раскроем скобки и выразим $d^2$:
$R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + d^2$
$d^2 = 2Rh + h^2$

Так как высота башни $h$ несоизмеримо мала по сравнению с радиусом Земли $R$ ($h \ll R$), слагаемым $h^2$ можно пренебречь, так как его вклад в общую сумму минимален. Таким образом, для расчетов мы можем использовать упрощенную формулу:
$d \approx \sqrt{2Rh}$

Приступим к расчетам, используя значение радиуса Земли $R = 6371$ км и переводя высоту башни $h$ в километры.

а)

Высота башни $h = 150$ м $= 0.150$ км.
Подставляем значения в формулу:
$d = \sqrt{2 \cdot 6371 \text{ км} \cdot 0.150 \text{ км}} = \sqrt{1911.3} \text{ км} \approx 43.7$ км.
Ответ: 43.7 км.

б)

Высота башни $h = 308$ м $= 0.308$ км.
Подставляем значения в формулу:
$d = \sqrt{2 \cdot 6371 \text{ км} \cdot 0.308 \text{ км}} = \sqrt{3924.656} \text{ км} \approx 62.6$ км.
Ответ: 62.6 км.

в)

Высота башни $h = 537$ м $= 0.537$ км.
Подставляем значения в формулу:
$d = \sqrt{2 \cdot 6371 \text{ км} \cdot 0.537 \text{ км}} = \sqrt{6841.554} \text{ км} \approx 82.7$ км.
Ответ: 82.7 км.