Номер 253, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

253. Средний радиус Земли равен 6371 км. Найдите, какой путь пройдет за час в результате вращения Земли вокруг своей оси город:

а) Могилев, который находится на $53^\circ 54^\prime$ северной широты;

б) Белыничи, который находится на $53^\circ 55^\prime$ северной широты;

в) Витебск, который находится на $55^\circ 12^\prime$ северной широты;

г) Брест, который находится на $52^\circ 06^\prime$ северной широты.

Для решения задачи необходимо найти длину пути, который проходит город на определенной широте за один час в результате вращения Земли вокруг своей оси.

Земля совершает полный оборот (360°) примерно за 24 часа. Любая точка на ее поверхности, за исключением полюсов, движется по окружности, плоскость которой параллельна экватору. Эта окружность называется параллелью. Радиус этой параллели зависит от географической широты $\phi$.

Примем средний радиус Земли $R_E = 6371$ км. Тогда радиус параллели $r$ на широте $\phi$ вычисляется по тригонометрической формуле:
$r = R_E \cdot \cos(\phi)$

Длина этой параллели $L$, которая представляет собой путь, проходимый городом за 24 часа, равна:
$L = 2\pi r = 2\pi R_E \cos(\phi)$

Соответственно, путь $S$, пройденный за 1 час, составит одну двадцать четвертую от полной длины окружности:
$S = \frac{L}{24} = \frac{2\pi R_E \cos(\phi)}{24} = \frac{\pi R_E \cos(\phi)}{12}$

Для проведения расчетов сначала переведем широту, заданную в градусах и минутах, в десятичные градусы по формуле: Десятичные градусы = Градусы + $\frac{Минуты}{60}$.

а) Могилев, который находится на 53°54' северной широты;
Переведем широту в десятичные градусы:
$\phi = 53^\circ 54' = 53 + \frac{54}{60} = 53.9^\circ$.
Рассчитаем путь за 1 час:
$S = \frac{\pi \cdot 6371 \cdot \cos(53.9^\circ)}{12} \approx \frac{3.14159 \cdot 6371 \cdot 0.58916}{12} \approx \frac{11791.74}{12} \approx 982.645$ км.
Округляя до десятых, получаем 982,6 км.
Ответ: 982,6 км.

б) Белыничи, который находится на 53°55' северной широты;
Переведем широту в десятичные градусы:
$\phi = 53^\circ 55' = 53 + \frac{55}{60} \approx 53.9167^\circ$.
Рассчитаем путь за 1 час:
$S = \frac{\pi \cdot 6371 \cdot \cos(53.9167^\circ)}{12} \approx \frac{3.14159 \cdot 6371 \cdot 0.58897}{12} \approx \frac{11788.04}{12} \approx 982.337$ км.
Округляя до десятых, получаем 982,3 км.
Ответ: 982,3 км.

в) Витебск, который находится на 55°12' северной широты;
Переведем широту в десятичные градусы:
$\phi = 55^\circ 12' = 55 + \frac{12}{60} = 55.2^\circ$.
Рассчитаем путь за 1 час:
$S = \frac{\pi \cdot 6371 \cdot \cos(55.2^\circ)}{12} \approx \frac{3.14159 \cdot 6371 \cdot 0.57070}{12} \approx \frac{11422.54}{12} \approx 951.878$ км.
Округляя до десятых, получаем 951,9 км.
Ответ: 951,9 км.

г) Брест, который находится на 52°06' северной широты.
Переведем широту в десятичные градусы:
$\phi = 52^\circ 06' = 52 + \frac{6}{60} = 52.1^\circ$.
Рассчитаем путь за 1 час:
$S = \frac{\pi \cdot 6371 \cdot \cos(52.1^\circ)}{12} \approx \frac{3.14159 \cdot 6371 \cdot 0.61427}{12} \approx \frac{12294.82}{12} \approx 1024.568$ км.
Округляя до десятых, получаем 1024,6 км.
Ответ: 1024,6 км.