Номер 256, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

256. Точка $M$ отстоит на 16 см от ближайшей точки сферы с радиусом 10 см. Найдите длину такой окружности на сфере, все точки которой отстоят от точки $M$ на 24 см.

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. По условию, $R = 10$ см.

Точка $M$ отстоит на 16 см от ближайшей точки сферы. Ближайшая к $M$ точка сферы (назовем ее $A$) лежит на прямой, соединяющей центр сферы $O$ и точку $M$. Расстояние от центра сферы до точки $M$ равно сумме радиуса сферы и расстояния от точки $M$ до ближайшей точки сферы:

$OM = R + 16$ см $= 10 + 16 = 26$ см.

Искомая окружность на сфере — это множество точек, равноудаленных от точки $M$ на расстояние 24 см. Возьмем любую точку $P$ на этой окружности. Точка $P$ принадлежит сфере, поэтому расстояние от нее до центра сферы равно радиусу: $OP = R = 10$ см. Также, по условию, расстояние от точки $P$ до точки $M$ равно 24 см: $MP = 24$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMP$. Его стороны равны: $OP = 10$ см, $MP = 24$ см, $OM = 26$ см. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, с помощью теоремы, обратной теореме Пифагора:

$OP^2 + MP^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$

$OM^2 = 26^2 = 676$

Поскольку $OP^2 + MP^2 = OM^2$, треугольник $\triangle OMP$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $P$.

Искомая окружность лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $OM$. Радиус этой окружности, обозначим его $r$, является высотой треугольника $\triangle OMP$, проведенной из вершины $P$ к гипотенузе $OM$.

Площадь прямоугольного треугольника $\triangle OMP$ можно найти двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot OP \cdot MP = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$ см$^2$.

2. Через гипотенузу и высоту к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot r = 13r$.

Приравнивая два выражения для площади, найдем радиус $r$:

$13r = 120 \implies r = \frac{120}{13}$ см.

Теперь найдем длину окружности $L$ по формуле $L = 2\pi r$:

$L = 2\pi \cdot \frac{120}{13} = \frac{240\pi}{13}$ см.

Ответ: $\frac{240\pi}{13}$ см.