Номер 262, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

262. Найдите расстояние от центра сферы с радиусом 10 см до плоскости ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, а все стороны касаются сферы.

1. Анализ геометрической конфигурации и вывод основной формулы

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — её радиус. По условию, $R = 10$ см. Пусть $h$ — искомое расстояние от центра сферы до плоскости ромба. Если мы опустим перпендикуляр $OO'$ из центра сферы на плоскость ромба, то его длина будет $h = OO'$, а точка $O'$ будет проекцией центра сферы на эту плоскость.

По условию, все стороны ромба касаются сферы. Это означает, что расстояние от центра сферы $O$ до каждой из сторон ромба равно радиусу сферы $R$. Возьмём любую сторону ромба и точку касания $K$ на ней. Тогда отрезок $OK$ перпендикулярен этой стороне, и его длина $OK = R = 10$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO'K$, в котором угол $\angle OO'K = 90^\circ$. Его катеты — это $OO' = h$ и $O'K$. По теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная $OK$ перпендикулярна некоторой прямой в плоскости (стороне ромба), то и её проекция $O'K$ на эту плоскость также перпендикулярна этой прямой. Следовательно, длина отрезка $O'K$ — это расстояние от точки $O'$ до стороны ромба.

Так как это рассуждение справедливо для всех четырёх сторон ромба, точка $O'$ равноудалена от всех его сторон. Точка в плоскости ромба, равноудалённая от всех его сторон, является центром вписанной в ромб окружности. Таким образом, $O'$ — это точка пересечения диагоналей ромба, а расстояние $O'K$ — это радиус вписанной окружности, который мы обозначим $r$.

Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle OO'K$, получаем соотношение между искомым расстоянием $h$, радиусом сферы $R$ и радиусом вписанной в ромб окружности $r$: $R^2 = h^2 + r^2$ Для нахождения $h$ необходимо сначала вычислить $r$.

2. Вычисление радиуса ($r$) вписанной в ромб окружности

Диагонали ромба равны $d_1 = 15$ см и $d_2 = 20$ см. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Найдём длину стороны ромба $a$, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного половинами диагоналей: $a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{15}{2})^2 + (\frac{20}{2})^2} = \sqrt{7.5^2 + 10^2} = \sqrt{56.25 + 100} = \sqrt{156.25} = 12.5$ см.

Площадь ромба $S$ можно найти по формуле через диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ см$^2$.

С другой стороны, площадь ромба, как любого описанного многоугольника, равна произведению его полупериметра $p$ на радиус вписанной окружности $r$. Полупериметр ромба $p = \frac{4a}{2} = 2a = 2 \cdot 12.5 = 25$ см. Из формулы площади $S = p \cdot r$ выразим $r$: $150 = 25 \cdot r$ $r = \frac{150}{25} = 6$ см.

3. Вычисление искомого расстояния ($h$)

Теперь, зная радиус сферы $R = 10$ см и радиус вписанной в ромб окружности $r = 6$ см, мы можем найти искомое расстояние $h$ из выведенной ранее формулы $R^2 = h^2 + r^2$: $h^2 = R^2 - r^2$ $h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ $h = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.