Номер 265, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

265. Найдите радиус сферы и расстояние между точками ее касания с гранями двугранного угла в $120^\circ$, учитывая, что центр сферы отстоит на $a$ от ребра угла.

Для решения задачи рассмотрим сечение, перпендикулярное ребру двугранного угла и проходящее через центр сферы. В этом сечении двугранный угол будет представлен плоским углом $ \angle{AMB} = 120^{\circ} $, где $M$ — точка на ребре угла, а лучи $MA$ и $MB$ лежат в гранях угла. Сфера будет представлена окружностью, вписанной в этот угол, с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

По условию, расстояние от центра сферы $O$ до ребра угла (точки $M$ в нашем сечении) равно $a$, то есть $OM = a$. Точки касания сферы с гранями — это точки касания окружности с лучами $MA$ и $MB$. Обозначим их $K$ и $L$ соответственно. Тогда $OK \perp MA$ и $OL \perp MB$, и $OK = OL = R$.

Найдите радиус сферы

Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, луч $OM$ является биссектрисой угла $ \angle{KML} $. Таким образом, $ \angle{OMK} = \frac{1}{2} \angle{KML} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle{OKM} $ ( $ \angle{OKM} = 90^{\circ} $). В этом треугольнике:

• $OM$ — гипотенуза, равная $a$.
• $OK$ — катет, противолежащий углу $ \angle{OMK} $, равный радиусу сферы $R$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$ \sin(\angle{OMK}) = \frac{OK}{OM} $

$ \sin(60^{\circ}) = \frac{R}{a} $

Отсюда находим радиус $R$:

$ R = a \cdot \sin(60^{\circ}) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдите расстояние между точками ее касания

Расстояние между точками касания — это длина отрезка $KL$. Рассмотрим четырехугольник $OKML$. Сумма его углов равна $360^{\circ}$. Мы знаем, что $ \angle{OKM} = 90^{\circ} $, $ \angle{OLM} = 90^{\circ} $ и $ \angle{KML} = 120^{\circ} $. Тогда угол $ \angle{KOL} $ равен:

$ \angle{KOL} = 360^{\circ} - \angle{OKM} - \angle{OLM} - \angle{KML} = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} $

Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle{KOL} $. Он является равнобедренным, так как его стороны $OK$ и $OL$ — это радиусы сферы, то есть $OK = OL = R$.

Поскольку в равнобедренном треугольнике $ \triangle{KOL} $ угол при вершине $O$ равен $60^{\circ}$, то этот треугольник является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны:

$ KL = OK = OL = R $

Так как мы уже нашли, что $ R = a \frac{\sqrt{3}}{2} $, то и расстояние между точками касания $KL$ равно этому же значению.

$ KL = a \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $a \frac{\sqrt{3}}{2}$