Номер 270, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

270. Найдите поверхность сферы, учитывая, что:

а) длина большой окружности равна $6\sqrt{2\pi}$ м;

б) радиусы двух ее параллельных сечений, отстоящих на 3 см, равны 9 см и 12 см.

а)

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$, где $R$ – радиус сферы. Большая окружность сферы — это окружность, радиус которой равен радиусу самой сферы. Длина большой окружности $C$ связана с радиусом $R$ формулой $C = 2\pi R$.

По условию, длина большой окружности равна $C = 6\sqrt{2\pi}$ м. Приравняем это значение к формуле длины окружности, чтобы найти радиус $R$: $2\pi R = 6\sqrt{2\pi}$

Выразим $R$: $R = \frac{6\sqrt{2\pi}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{2\pi}}{\pi}$ м.

Теперь, когда мы знаем радиус, можем найти площадь поверхности сферы: $S = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\frac{3\sqrt{2\pi}}{\pi}\right)^2 = 4\pi \left(\frac{9 \cdot 2\pi}{\pi^2}\right) = 4\pi \left(\frac{18\pi}{\pi^2}\right) = 4\pi \cdot \frac{18}{\pi}$

Сократив $\pi$, получаем: $S = 4 \cdot 18 = 72$ м$^2$.

Ответ: $72$ м$^2$.

б)

Пусть $R$ - радиус сферы, а $O$ - ее центр. Сечения сферы плоскостями являются окружностями. Пусть радиусы данных параллельных сечений равны $r_1 = 9$ см и $r_2 = 12$ см. Расстояние между плоскостями сечений равно $h = 3$ см.

Пусть $d_1$ и $d_2$ - расстояния от центра сферы $O$ до плоскостей сечений. Для каждого сечения существует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус сферы $R$, а катетами - радиус сечения $r$ и расстояние от центра сферы до плоскости сечения $d$. Таким образом, выполняются соотношения: $R^2 = r_1^2 + d_1^2 = 9^2 + d_1^2 = 81 + d_1^2$ $R^2 = r_2^2 + d_2^2 = 12^2 + d_2^2 = 144 + d_2^2$

Приравняем правые части уравнений: $81 + d_1^2 = 144 + d_2^2$ $d_1^2 - d_2^2 = 144 - 81$ $d_1^2 - d_2^2 = 63$

Рассмотрим два возможных случая расположения сечений относительно центра сферы.

Случай 1: Сечения находятся по одну сторону от центра сферы.
В этом случае расстояние между плоскостями сечений равно разности расстояний от центра до этих плоскостей: $h = |d_1 - d_2| = 3$. Сечение с меньшим радиусом ($r_1=9$ см) находится дальше от центра, чем сечение с большим радиусом ($r_2=12$ см), следовательно $d_1 > d_2$. Таким образом, $d_1 - d_2 = 3$. Используем формулу разности квадратов: $(d_1 - d_2)(d_1 + d_2) = 63$. Подставим известное значение: $3(d_1 + d_2) = 63$, откуда $d_1 + d_2 = 21$. Получаем систему уравнений: $\begin{cases} d_1 - d_2 = 3 \\ d_1 + d_2 = 21 \end{cases}$ Сложив уравнения, находим $2d_1 = 24$, то есть $d_1 = 12$ см. Тогда $d_2 = 21 - 12 = 9$ см. Теперь найдем радиус сферы $R$: $R^2 = r_1^2 + d_1^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. $R = \sqrt{225} = 15$ см. (Проверка по второму сечению: $R^2 = r_2^2 + d_2^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$, что верно).

Случай 2: Сечения находятся по разные стороны от центра сферы.
В этом случае расстояние между плоскостями сечений равно сумме расстояний от центра до этих плоскостей: $h = d_1 + d_2 = 3$. Снова используем уравнение $(d_1 - d_2)(d_1 + d_2) = 63$. Подставим $d_1 + d_2 = 3$: $(d_1 - d_2) \cdot 3 = 63$, откуда $d_1 - d_2 = 21$. Получаем систему уравнений: $\begin{cases} d_1 + d_2 = 3 \\ d_1 - d_2 = 21 \end{cases}$ Сложив уравнения, находим $2d_1 = 24$, то есть $d_1 = 12$ см. Тогда $d_2 = 3 - 12 = -9$ см. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможный радиус сферы равен $R = 15$ см. Найдем площадь поверхности сферы: $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 15^2 = 4\pi \cdot 225 = 900\pi$ см$^2$.

Ответ: $900\pi$ см$^2$.