Номер 266, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

266. Прямая отстоит на $d$ от центра сферы с радиусом $R$. Докажите, что:

a) если $d < R$, то прямая пересекает сферу в двух точках;

б) если $d = R$, то прямая имеет только одну общую точку со сферой;

в) если $d > R$, то прямая не имеет со сферой общих точек.

Для доказательства рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через центр сферы O и данную прямую l. В сечении мы получим окружность с центром в точке O и радиусом $R$, и прямую l, лежащую в той же плоскости. Расстояние от центра окружности O до прямой l равно $d$.

Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из центра O на прямую l. Тогда длина отрезка OH равна расстоянию от центра до прямой, то есть $OH = d$.

Рассмотрим произвольную точку M на прямой l. Точка M будет общей для прямой и сферы тогда и только тогда, когда расстояние от нее до центра сферы O будет равно радиусу $R$, то есть $OM = R$.

Из прямоугольного треугольника OMH (с прямым углом H) по теореме Пифагора имеем: $OM^2 = OH^2 + HM^2$.

Подставив известные значения, получим: $R^2 = d^2 + HM^2$. Отсюда $HM^2 = R^2 - d^2$.

Теперь рассмотрим три случая в зависимости от соотношения между $d$ и $R$.

а) если $d < R$, то прямая пересекает сферу в двух точках;

Если $d < R$, то $d^2 < R^2$, и, следовательно, $R^2 - d^2 > 0$. Уравнение $HM^2 = R^2 - d^2$ имеет два решения для длины отрезка HM: $HM = \sqrt{R^2 - d^2}$. Это означает, что на прямой l существуют две точки, $M_1$ и $M_2$, расположенные по разные стороны от точки H на расстоянии $\sqrt{R^2 - d^2}$ от нее. Для обеих этих точек расстояние до центра O равно $R$, то есть они лежат на сфере. Таким образом, прямая пересекает сферу в двух различных точках.

Ответ: Доказано, что если $d < R$, прямая и сфера имеют две общие точки.

б) если $d = R$, то прямая имеет только одну общую точку со сферой;

Если $d = R$, то $d^2 = R^2$, и, следовательно, $R^2 - d^2 = 0$. Уравнение $HM^2 = R^2 - d^2$ принимает вид $HM^2 = 0$. Это уравнение имеет единственное решение: $HM = 0$. Это означает, что точка M совпадает с точкой H. Расстояние от точки H до центра O равно $OH = d = R$, значит, точка H лежит на сфере. Любая другая точка $M'$ на прямой l будет находиться на расстоянии $OM' = \sqrt{OH^2 + HM'^2} = \sqrt{R^2 + HM'^2} > R$, то есть вне сферы. Следовательно, прямая имеет со сферой только одну общую точку (точку касания).

Ответ: Доказано, что если $d = R$, прямая и сфера имеют одну общую точку.

в) если $d > R$, то прямая не имеет со сферой общих точек.

Если $d > R$, то $d^2 > R^2$, и, следовательно, $R^2 - d^2 < 0$. Уравнение $HM^2 = R^2 - d^2$ не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Это означает, что на прямой l нет ни одной точки, расстояние от которой до центра O равнялось бы $R$. Для любой точки M на прямой l, $OM^2 = d^2 + HM^2 > R^2 + HM^2 \ge R^2$, откуда $OM > R$. Все точки прямой находятся на расстоянии большем, чем радиус, от центра сферы, то есть лежат вне сферы. Таким образом, прямая и сфера не имеют общих точек.

Ответ: Доказано, что если $d > R$, прямая и сфера не имеют общих точек.