Номер 264, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

264. Через точку сферы с радиусом $R$ проведены две плоскости, из которых одна касается сферы, а другая наклонена к ней под углом $\phi$. Найдите длину окружности сечения.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — точка на поверхности сферы, через которую проходят две плоскости.

Первая плоскость, $\alpha$, является касательной к сфере в точке $A$. По свойству касательной плоскости, радиус $OA$, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой плоскости. Таким образом, прямая $OA$ является нормалью к плоскости $\alpha$.

Вторая плоскость, $\beta$, пересекает сферу, образуя в сечении окружность. Назовем центр этой окружности точкой $C$, а ее радиус — $r$. Прямая $OC$, соединяющая центр сферы и центр окружности сечения, перпендикулярна плоскости сечения $\beta$. Таким образом, прямая $OC$ является нормалью к плоскости $\beta$.

По условию, угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен $\phi$. Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями. В данном случае нормалью к плоскости $\alpha$ является прямая $OA$, а нормалью к плоскости $\beta$ — прямая $OC$. Следовательно, угол между отрезками $OA$ и $OC$ равен $\phi$, то есть $\angle AOC = \phi$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$.

• $OA$ — это радиус сферы, поэтому его длина $OA = R$.
• Точка $A$ лежит на сфере и в секущей плоскости $\beta$, значит, она принадлежит и окружности сечения. Следовательно, $AC$ — это радиус окружности сечения, и его длина $AC = r$.
• Так как прямая $OC$ перпендикулярна плоскости $\beta$, в которой лежит отрезок $AC$, то $OC \perp AC$. Это означает, что треугольник $\triangle OAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle OCA = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle OAC$ с гипотенузой $OA = R$ и острым углом $\angle AOC = \phi$, катет $AC = r$ является противолежащим этому углу. Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике имеем: $$ \sin(\angle AOC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{OA} $$ Подставляя известные значения, получаем: $$ \sin(\phi) = \frac{r}{R} $$

Из этого соотношения выражаем радиус окружности сечения $r$: $$ r = R \sin(\phi) $$

Длина окружности сечения $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi r$. Подставим найденное значение $r$: $$ L = 2\pi (R \sin(\phi)) = 2\pi R \sin(\phi) $$

Ответ: $2\pi R \sin(\phi)$.