Номер 260, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

260*. Есть тело, ограниченное двумя сферами с общим центром. Докажите, что площадь его сечения плоскостью, проходящей через центр сфер, равна площади сечения плоскостью, касательной к внутренней сфере (рис. 152).

Рис. 152

Пусть даны две концентрические сферы с общим центром в точке $O$. Обозначим радиус большей (внешней) сферы как $R$, а радиус меньшей (внутренней) сферы как $r$, где $R > r$. Тело, о котором идет речь в задаче, представляет собой шаровой слой (область между двумя сферами).

Нам нужно доказать равенство площадей двух сечений этого тела.

1. Найдем площадь сечения плоскостью, проходящей через центр сфер.

Пусть плоскость $\alpha$ проходит через центр $O$.

Сечением внешней сферы плоскостью $\alpha$ является большой круг, радиус которого равен радиусу сферы $R$. Площадь этого круга равна $S_R = \pi R^2$.

Сечением внутренней сферы плоскостью $\alpha$ также является большой круг, радиус которого равен радиусу сферы $r$. Площадь этого круга равна $S_r = \pi r^2$.

Сечение тела, ограниченного сферами, представляет собой кольцо, площадь которого $S_1$ равна разности площадей этих двух кругов:
$S_1 = S_R - S_r = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$.

2. Найдем площадь сечения плоскостью, касательной к внутренней сфере.

Пусть плоскость $\beta$ касается внутренней сферы. Это означает, что расстояние от центра $O$ до плоскости $\beta$ равно радиусу внутренней сферы, то есть $r$.

Поскольку плоскость $\beta$ касается внутренней сферы, она пересекает ее только в одной точке. Вклад этой точки в площадь сечения равен нулю.

Следовательно, площадь сечения $S_2$ тела будет равна площади сечения внешней сферы плоскостью $\beta$.

Сечением сферы плоскостью всегда является круг. Найдем радиус этого круга. Обозначим его как $\rho$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются:

• Центр сфер $O$.
• Центр круга сечения $C$ (это основание перпендикуляра, опущенного из $O$ на плоскость $\beta$).
• Любая точка $P$ на окружности этого сечения (эта точка также лежит на внешней сфере).

В этом треугольнике $\triangle OCP$:

• Гипотенуза $OP$ – это радиус внешней сферы, $OP = R$.
• Катет $OC$ – это расстояние от центра $O$ до плоскости $\beta$, $OC = r$.
• Катет $CP$ – это радиус круга сечения, $CP = \rho$.

По теореме Пифагора:
$OP^2 = OC^2 + CP^2$
$R^2 = r^2 + \rho^2$

Отсюда находим квадрат радиуса сечения:
$\rho^2 = R^2 - r^2$

Теперь можем найти площадь сечения $S_2$, которая является площадью круга радиусом $\rho$:
$S_2 = \pi \rho^2 = \pi(R^2 - r^2)$.

3. Сравнение площадей.

Мы получили, что:
$S_1 = \pi(R^2 - r^2)$
$S_2 = \pi(R^2 - r^2)$

Следовательно, $S_1 = S_2$.

Таким образом, мы доказали, что площадь сечения тела плоскостью, проходящей через центр сфер, равна площади сечения плоскостью, касательной к внутренней сфере.

Ответ: Что и требовалось доказать.