Номер 261, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

261. Найдите расстояние от центра до плоскости треугольника, стороны которого касаются сферы с радиусом 5 см и равны 13 см, 14 см и 15 см.

Пусть $O$ — центр сферы, $R$ — ее радиус ($R = 5$ см), а $\alpha$ — плоскость данного треугольника. Стороны треугольника равны $a = 14$ см, $b = 15$ см и $c = 13$ см. Искомое расстояние $d$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha$.

По условию задачи, стороны треугольника касаются сферы. Это означает, что расстояние от центра сферы $O$ до каждой из прямых, на которых лежат стороны треугольника, равно радиусу сферы $R$.

Множество точек в пространстве, равноудаленных от трех прямых, содержащих стороны треугольника, представляет собой прямую, которая перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр вписанной в него окружности (инцентр). Обозначим инцентр треугольника как $I$. Таким образом, центр сферы $O$ должен лежать на этой прямой.

Из этого следует, что искомое расстояние $d$ равно длине отрезка $OI$, так как $I$ является проекцией точки $O$ на плоскость $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OIK$, где:
• $O$ — центр сферы,
• $I$ — инцентр треугольника,
• $K$ — точка касания вписанной окружности с одной из сторон треугольника (например, со стороной, лежащей на прямой $BC$).

В этом треугольнике:
• Катет $OI$ равен искомому расстоянию $d$.
• Катет $IK$ равен радиусу вписанной в треугольник окружности, который мы обозначим как $r$.
• Гипотенуза $OK$ — это расстояние от центра сферы $O$ до касательной прямой $BC$, и она равна радиусу сферы $R$.

Поскольку прямая $OI$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, а прямая $IK$ лежит в этой плоскости, то $OI \perp IK$. Следовательно, треугольник $OIK$ является прямоугольным. По теореме Пифагора получаем соотношение:

$R^2 = d^2 + r^2$

Из этой формулы мы можем выразить $d$:

$d = \sqrt{R^2 - r^2}$

Чтобы найти $d$, нам необходимо сначала вычислить радиус вписанной окружности $r$. Для этого найдем полупериметр $p$ и площадь $S$ треугольника.

1. Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8} = \sqrt{7056} = 84$ см$^2$.

3. Теперь найдем радиус вписанной окружности $r$ по формуле $r = \frac{S}{p}$:

$r = \frac{84}{21} = 4$ см.

4. Наконец, подставим известные значения $R$ и $r$ в формулу для $d$:

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.