Номер 277, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

277* Радиус сферического пояса равен $r$, а углы, под которыми видны из центра сферы диаметры его оснований, — $\alpha$ и $\beta$. Найдите высоту пояса.

Обозначим радиус сферы, на которой расположен сферический пояс, через $r$. Высота сферического пояса, $h$, — это расстояние между двумя параллельными плоскостями, которые образуют его основания.

Рассмотрим, как расстояние от центра сферы до плоскости одного из оснований зависит от угла, под которым из центра виден диаметр этого основания. Пусть этот угол равен $\gamma$. В осевом сечении сферы, которое проходит через ее центр $O$, основание пояса представляет собой хорду. Концы этой хорды (которые являются концами диаметра основания) и центр сферы $O$ образуют равнобедренный треугольник. Боковые стороны этого треугольника равны радиусу сферы $r$, а угол при вершине $O$ равен $\gamma$.

Расстояние от центра сферы до плоскости основания — это длина высоты, опущенной из вершины $O$ на основание этого треугольника. Эта высота также является биссектрисой угла $\gamma$. В прямоугольном треугольнике, который образуется этой высотой (катет), радиусом сферы (гипотенуза) и радиусом основания (второй катет), угол между высотой и радиусом сферы равен $\frac{\gamma}{2}$. Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике получаем, что расстояние $d$ от центра сферы до плоскости основания равно:

$d = r \cos(\frac{\gamma}{2})$

Для двух оснований сферического пояса даны углы $\alpha$ и $\beta$. Следовательно, расстояния от центра сферы до плоскостей этих оснований равны соответственно:

$d_1 = r \cos(\frac{\alpha}{2})$ и $d_2 = r \cos(\frac{\beta}{2})$

Высота пояса $h$ зависит от взаимного расположения оснований относительно центра сферы. В условии задачи это расположение не уточнено, поэтому необходимо рассмотреть два возможных варианта.

Если основания пояса находятся по одну сторону от центра сферы, то высота пояса $h$ равна разности расстояний от центра до плоскостей оснований. Для получения положительного значения высоты используется модуль разности:

$h = |d_1 - d_2| = |r \cos(\frac{\alpha}{2}) - r \cos(\frac{\beta}{2})| = r |\cos(\frac{\alpha}{2}) - \cos(\frac{\beta}{2})|$

Если основания пояса находятся по разные стороны от центра сферы, то высота пояса $h$ равна сумме расстояний от центра до плоскостей оснований:

$h = d_1 + d_2 = r \cos(\frac{\alpha}{2}) + r \cos(\frac{\beta}{2}) = r (\cos(\frac{\alpha}{2}) + \cos(\frac{\beta}{2}))$

Так как условие задачи допускает обе конфигурации, то задача имеет два возможных решения.

Ответ: $r |\cos(\frac{\alpha}{2}) - \cos(\frac{\beta}{2})|$ или $r (\cos(\frac{\alpha}{2}) + \cos(\frac{\beta}{2}))$.