Номер 276, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

276*. Радиус сферического купола равен $r$, а дуга осевого сечения — $\alpha$. Найдите:

a) длину окружности основания купола;

б) высоту купола.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение сферического купола. Оно представляет собой сегмент круга, радиус которого равен радиусу сферы `r`. По условию, длина дуги этого сечения равна `\alpha`.

Пусть `O` — центр сферы, из которой вырезан купол. Осевое сечение проходит через этот центр. Пусть `P` — вершина купола, а хорда `AB` — диаметр его основания. Тогда дуга `APB` имеет длину `\alpha`. Центральный угол `\angle AOB`, опирающийся на эту дугу, обозначим как `\theta` (в радианах). Длина дуги окружности радиуса `r` с центральным углом `\theta` вычисляется по формуле `L = r \cdot \theta`. Так как по условию `L = \alpha`, мы имеем `\alpha = r \cdot \theta`. Отсюда можем выразить центральный угол:

$\theta = \frac{\alpha}{r}$

а) длину окружности основания купола;

Основание купола представляет собой окружность. Чтобы найти ее длину `L_{осн}`, нам необходимо сначала определить ее радиус `R_{осн}`. Радиус основания купола равен половине длины хорды `AB`, которая стягивает дугу осевого сечения.

Рассмотрим равнобедренный треугольник `\triangle AOB`, в котором боковые стороны `OA` и `OB` равны радиусу сферы `r`. Проведем высоту `OC` из центра сферы `O` к хорде `AB`. Точка `C` является центром основания купола. Высота `OC` в равнобедренном треугольнике также является медианой и биссектрисой, поэтому она делит угол `\theta` пополам: `\angle AOC = \frac{\theta}{2}`. Длина отрезка `AC` равна радиусу основания `R_{осн}`.

В прямоугольном треугольнике `\triangle AOC` катет `AC` (радиус основания) можно найти через гипотенузу `OA = r` и угол `\angle AOC`:

$R_{осн} = AC = OA \cdot \sin(\angle AOC) = r \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$

Подставим ранее найденное выражение для `\theta = \frac{\alpha}{r}` в эту формулу:

$R_{осн} = r \cdot \sin\left(\frac{\alpha/r}{2}\right) = r \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2r}\right)$

Теперь, зная радиус основания, мы можем найти длину его окружности по формуле `L_{осн} = 2\pi R_{осн}`:

$L_{осн} = 2\pi \cdot r \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2r}\right)$

Ответ: $2\pi r \sin\left(\frac{\alpha}{2r}\right)$

б) высоту купола.

Высота купола `h` — это высота сферического сегмента. Она равна расстоянию от вершины купола `P` до плоскости его основания. В нашем осевом сечении это соответствует длине отрезка `CP`.

Высоту `h` можно вычислить как разность между радиусом сферы `r` (отрезок `OP`) и расстоянием от центра сферы до центра основания купола (отрезок `OC`).

$h = OP - OC = r - OC$

Длину отрезка `OC` найдем из того же прямоугольного треугольника `\triangle AOC`:

$OC = OA \cdot \cos(\angle AOC) = r \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$

Подставим `\theta = \frac{\alpha}{r}`:

$OC = r \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2r}\right)$

Теперь можем найти высоту `h`:

$h = r - r \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2r}\right) = r\left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2r}\right)\right)$

Ответ: $r\left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2r}\right)\right)$