Номер 279, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

279*. Найдите поверхность сферического пояса, радиусы оснований которого равны:

а) 16 см и 33 см, а высота — 7 см;

б) 20 м и 24 м, а радиус сферы — 25 м.

а) Площадь боковой поверхности сферического пояса определяется формулой $S = 2 \pi R h$, где $R$ – радиус сферы, а $h$ – высота пояса. По условию задачи даны радиусы оснований $r_1 = 16$ см и $r_2 = 33$ см, а также высота пояса $h = 7$ см. Чтобы найти площадь, сначала необходимо вычислить радиус сферы $R$.

Связь между радиусом сферы $R$, радиусом основания $r$ и расстоянием $d$ от центра сферы до плоскости основания задается теоремой Пифагора для осевого сечения: $R^2 = d^2 + r^2$. Для двух оснований имеем $R^2 = d_1^2 + r_1^2$ и $R^2 = d_2^2 + r_2^2$. Приравнивая выражения для $R^2$, получаем $d_1^2 + r_1^2 = d_2^2 + r_2^2$, откуда следует $d_1^2 - d_2^2 = r_2^2 - r_1^2$.

Подставим значения радиусов: $(d_1 - d_2)(d_1 + d_2) = 33^2 - 16^2 = (33-16)(33+16) = 17 \cdot 49 = 833$. Высота пояса равна модулю разности расстояний от центра до оснований: $h = |d_1 - d_2| = 7$ см. Подставив это значение, получим $7 \cdot (d_1 + d_2) = 833$, следовательно $d_1 + d_2 = \frac{833}{7} = 119$.

Решим систему линейных уравнений: $\begin{cases} d_1 + d_2 = 119 \\ d_1 - d_2 = 7 \end{cases}$ (здесь мы предположили, что $d_1>d_2$). Складывая уравнения, получаем $2d_1 = 126$, т.е. $d_1 = 63$ см. Вычитая второе из первого, получаем $2d_2 = 112$, т.е. $d_2 = 56$ см. Теперь найдем радиус сферы: $R^2 = d_1^2 + r_1^2 = 63^2 + 16^2 = 3969 + 256 = 4225$. Таким образом, $R = \sqrt{4225} = 65$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь поверхности сферического пояса: $S = 2 \pi R h = 2 \pi \cdot 65 \cdot 7 = 910\pi$ см$^2$.

Ответ: $910 \pi$ см$^2$.

б) По условию известны радиусы оснований $r_1 = 20$ м, $r_2 = 24$ м и радиус сферы $R = 25$ м. Площадь поверхности сферического пояса вычисляется по формуле $S = 2 \pi R h$. В данном случае нам необходимо найти высоту пояса $h$.

Высота пояса $h$ — это расстояние между параллельными плоскостями оснований. Сначала найдем расстояния $d_1$ и $d_2$ от центра сферы до каждой из этих плоскостей по формуле $d = \sqrt{R^2 - r^2}$:

$d_1 = \sqrt{R^2 - r_1^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{(25-20)(25+20)} = \sqrt{5 \cdot 45} = \sqrt{225} = 15$ м.

$d_2 = \sqrt{R^2 - r_2^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{(25-24)(25+24)} = \sqrt{1 \cdot 49} = \sqrt{49} = 7$ м.

Поскольку в условии не указано, как расположены основания относительно центра сферы, возможны два случая.

Случай 1: Основания расположены по разные стороны от центра сферы. В этом случае высота пояса равна сумме расстояний: $h_1 = d_1 + d_2 = 15 + 7 = 22$ м. Площадь поверхности будет: $S_1 = 2 \pi R h_1 = 2 \pi \cdot 25 \cdot 22 = 1100 \pi$ м$^2$.

Случай 2: Основания расположены по одну сторону от центра сферы. В этом случае высота пояса равна разности расстояний: $h_2 = |d_1 - d_2| = |15 - 7| = 8$ м. Площадь поверхности будет: $S_2 = 2 \pi R h_2 = 2 \pi \cdot 25 \cdot 8 = 400 \pi$ м$^2$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $1100 \pi$ м$^2$ или $400 \pi$ м$^2$.