Номер 4, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Сформулируйте утверждение об объеме тела, полученного вращением треугольника вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника, проходит через его вершину и не имеет с треугольником общих внутренних точек.

Искомое утверждение является частным случаем второй теоремы Паппа-Гульдина. Формулируется оно следующим образом: объем тела, полученного вращением треугольника вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника, проходит через его вершину и не имеет с треугольником общих внутренних точек, равен произведению площади треугольника на длину окружности, описываемой центром тяжести (центроидом) этого треугольника.

Математически этот объем $V$ выражается формулой:

$V = 2 \pi r S$

Здесь $S$ — это площадь вращаемого треугольника, а $r$ — расстояние от центра тяжести (центроида) треугольника до оси вращения.

Центр тяжести треугольника (точка пересечения его медиан) всегда находится внутри него. Условие, что ось вращения проходит через вершину, но не имеет других общих точек с внутренней частью треугольника, гарантирует, что вся фигура лежит по одну сторону от оси. Следовательно, расстояние $r$ от центра тяжести до оси всегда положительно. Величина $2 \pi r$ как раз и является длиной пути, проходимого центром тяжести при полном обороте.

Ответ: Объем тела, полученного вращением треугольника вокруг прямой, которая лежит в его плоскости, проходит через его вершину и не имеет с ним общих внутренних точек, вычисляется по формуле $V = 2 \pi r S$, где $S$ — площадь треугольника, а $r$ — расстояние от центра тяжести (центроида) треугольника до оси вращения.