Номер 11, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

11. Какой шар называется вписанным в конус; описанным около конуса?

Шар, вписанный в конус

Шар называется вписанным в конус, если он касается плоскости основания конуса в его центре и каждой образующей конуса. Таким образом, и основание, и боковая поверхность конуса являются касательными к шару.

Центр вписанного шара всегда лежит на оси конуса. Осевое сечение такой комбинации тел представляет собой равнобедренный треугольник (сечение конуса), в который вписана окружность (сечение шара). Центр этой окружности совпадает с центром вписанного шара.

Если $R$ — радиус основания конуса, $H$ — его высота, а $L$ — длина образующей, то радиус $r$ вписанного шара можно найти по формуле, выведенной из подобия треугольников в осевом сечении: $r = \frac{R \cdot H}{R + L}$, где образующая вычисляется по теореме Пифагора $L = \sqrt{R^2 + H^2}$.

Ответ: Шар, вписанный в конус, — это шар, который касается плоскости основания конуса и всех его образующих.

Шар, описанный около конуса

Шар называется описанным около конуса, если вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности этого шара (сфере).

Центр описанного шара также всегда лежит на оси конуса. Осевое сечение данной комбинации тел представляет собой равнобедренный треугольник (сечение конуса), который вписан в большую окружность шара (сечение шара). Это означает, что все вершины треугольника лежат на окружности.

Радиус $R_{сф}$ описанного шара можно найти, используя параметры конуса. Например, через формулу радиуса описанной окружности для треугольника, являющегося осевым сечением: $R_{сф} = \frac{L^2}{2H}$, где $L$ — длина образующей конуса, а $H$ — его высота.

Ответ: Шар, описанный около конуса, — это шар, на поверхности которого лежат вершина конуса и окружность его основания.