Номер 9, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. Какой шар называется вписанным в цилиндр; описанным около цилиндра?

Шар, вписанный в цилиндр

Шар называется вписанным в цилиндр, если он касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности. Касание с основаниями происходит в их центрах, а касание с боковой поверхностью — по окружности большого круга (экватора) шара, плоскость которого параллельна основаниям цилиндра и проходит на равном расстоянии от них.

Для того чтобы в цилиндр можно было вписать шар, необходимо, чтобы цилиндр был равносторонним, то есть его высота должна быть равна диаметру его основания.

Если $R_{сф}$ — радиус вписанного шара, а $R_{цил}$ и $H_{цил}$ — радиус основания и высота цилиндра соответственно, то для них выполняются следующие соотношения:
- Радиус шара равен радиусу основания цилиндра: $R_{сф} = R_{цил}$.
- Высота цилиндра равна диаметру шара: $H_{цил} = 2R_{сф}$.
Из этих условий следует ключевое свойство такого цилиндра: $H_{цил} = 2R_{цил}$.

Ответ: Шар называется вписанным в цилиндр, если он касается верхнего и нижнего оснований цилиндра в их центрах, а также его боковой поверхности. Это возможно только для равностороннего цилиндра, у которого высота равна диаметру основания.

Шар, описанный около цилиндра

Шар называется описанным около цилиндра, если окружности оснований цилиндра полностью лежат на поверхности этого шара. Это означает, что каждая точка на окружностях верхнего и нижнего оснований цилиндра находится на одинаковом расстоянии (равном радиусу шара) от центра шара.

Центр описанного шара совпадает с серединой оси цилиндра (отрезка, который соединяет центры оснований). Описать шар можно около любого прямого кругового цилиндра.

Связь между радиусом шара $R_{сф}$, радиусом основания цилиндра $R_{цил}$ и высотой цилиндра $H_{цил}$ определяется по теореме Пифагора. Для прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус основания цилиндра $R_{цил}$ и половина высоты $\frac{H_{цил}}{2}$, а гипотенузой — радиус шара $R_{сф}$, справедливо равенство:
$R_{сф}^2 = R_{цил}^2 + \left(\frac{H_{цил}}{2}\right)^2$
Соответственно, радиус описанного шара можно найти по формуле: $R_{сф} = \sqrt{R_{цил}^2 + \frac{H_{цил}^2}{4}}$.

Ответ: Шар называется описанным около цилиндра, если окружности оснований этого цилиндра лежат на поверхности шара.