Номер 15, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

15. В какой точке находится центр шара, описанного около треугольной пирамиды; центр шара, вписанного в треугольную пирамиду?

Центр шара, описанного около треугольной пирамиды

Сфера называется описанной около пирамиды, если все вершины пирамиды лежат на поверхности этой сферы. Центр такой сферы — это точка, равноудаленная от всех вершин пирамиды.

Геометрическим местом точек в пространстве, равноудаленных от двух заданных точек (например, вершин $A$ и $B$), является плоскость, перпендикулярная отрезку $AB$ и проходящая через его середину. Такую плоскость называют серединным перпендикуляром к отрезку.

Чтобы найти точку, равноудаленную от всех четырех вершин треугольной пирамиды, необходимо найти точку пересечения серединных перпендикуляров ко всем ребрам пирамиды. Так как все вершины должны быть на одинаковом расстоянии $R$ (радиус сферы) от ее центра $O$, то центр $O$ должен лежать на пересечении плоскостей, перпендикулярных ребрам и проходящих через их середины.

На практике для нахождения центра описанной сферы можно применить следующий алгоритм:

1. Найти центр $O_1$ окружности, описанной около одной из граней пирамиды (например, основания).
2. Провести через точку $O_1$ прямую $l$, перпендикулярную плоскости этой грани. Все точки на этой прямой равноудалены от вершин выбранной грани.
3. Взять любое боковое ребро (то есть ребро, не лежащее в выбранной грани) и построить к нему серединный перпендикуляр (плоскость).
4. Точка пересечения прямой $l$ и этой плоскости и будет центром описанной сферы.

Ответ: Центр шара, описанного около треугольной пирамиды, — это точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно этим рёбрам.

Центр шара, вписанного в треугольную пирамиду

Сфера называется вписанной в пирамиду, если она касается всех ее граней. Центр вписанной сферы — это точка, равноудаленная от плоскостей всех граней пирамиды.

Геометрическим местом точек в пространстве, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей (граней), является пара биссекторных плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные этими плоскостями. Поскольку центр искомой сферы должен находиться внутри пирамиды, мы рассматриваем только те биссекторные плоскости, которые проходят внутри пирамиды.

Следовательно, чтобы найти точку, равноудаленную от всех четырех граней треугольной пирамиды, необходимо найти точку пересечения биссекторных плоскостей всех ее внутренних двугранных углов. В любой треугольной пирамиде (тетраэдре) такие плоскости пересекаются в одной точке.

Ответ: Центр шара, вписанного в треугольную пирамиду, — это точка пересечения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов пирамиды.