Номер 282, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

282. Учитывая, что $V$ — объем шара с радиусом $R$, а $S$ — площадь его поверхности, найдите:

$S$ и $V$ при $R = 8$ см;

$R$ и $S$ при $V = 113,04$ см$^3$;

$R$ и $V$ при $S = 64\pi$ см$^2$.

Основные формулы, которые будут использоваться для решения:

• Площадь поверхности шара: $S = 4\pi R^2$
• Объем шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Дано: радиус шара $R = 8$ см.
1. Находим площадь поверхности $S$:
$S = 4\pi R^2 = 4\pi (8 \text{ см})^2 = 4\pi \cdot 64 \text{ см}^2 = 256\pi \text{ см}^2$.
2. Находим объем $V$:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (8 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 512 \text{ см}^3 = \frac{2048}{3}\pi \text{ см}^3$.
Можно также записать в виде смешанной дроби: $682\frac{2}{3}\pi \text{ см}^3$.
Ответ: $S = 256\pi \text{ см}^2$, $V = \frac{2048}{3}\pi \text{ см}^3$.

Дано: объем шара $V = 113,04 \text{ см}^3$.
1. Находим радиус $R$ из формулы объема. Так как значение объема дано в виде десятичной дроби, используем приближение $\pi \approx 3,14$.
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 \implies R^3 = \frac{3V}{4\pi}$.
$R^3 \approx \frac{3 \cdot 113,04}{4 \cdot 3,14} = \frac{339,12}{12,56} = 27$.
$R = \sqrt[3]{27} = 3$ см.
2. Находим площадь поверхности $S$, используя найденный радиус $R = 3$ см:
$S = 4\pi R^2 = 4\pi (3 \text{ см})^2 = 4\pi \cdot 9 \text{ см}^2 = 36\pi \text{ см}^2$.
(Приближенно $S \approx 36 \cdot 3,14 = 113,04 \text{ см}^2$).
Ответ: $R = 3 \text{ см}$, $S = 36\pi \text{ см}^2$.

Дано: площадь поверхности шара $S = 64\pi \text{ см}^2$.
1. Находим радиус $R$ из формулы площади поверхности:
$S = 4\pi R^2 \implies R^2 = \frac{S}{4\pi}$.
$R^2 = \frac{64\pi \text{ см}^2}{4\pi} = 16 \text{ см}^2$.
Так как радиус должен быть положительным: $R = \sqrt{16} = 4$ см.
2. Находим объем $V$, используя найденный радиус $R = 4$ см:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (4 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 \text{ см}^3 = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3$.
Можно также записать в виде смешанной дроби: $85\frac{1}{3}\pi \text{ см}^3$.
Ответ: $R = 4 \text{ см}$, $V = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3$.