Номер 285, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

285. Свинцовый шар, диаметр которого равен 20 см, переплавляется в шарики, диаметры которых в 10 раз меньше. Определите, сколько таких шариков получится.

Основной принцип решения этой задачи заключается в том, что объем материала при переплавке сохраняется. Таким образом, объем одного большого свинцового шара равен суммарному объему всех маленьких шариков, которые из него изготовят. Чтобы найти искомое количество шариков, необходимо разделить объем большого шара на объем одного маленького шарика.

Определение радиусов шаров
Диаметр большого шара дан по условию: $D = 20$ см. Его радиус $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Диаметр маленьких шариков в 10 раз меньше, следовательно, диаметр одного маленького шарика $d$ равен: $d = \frac{D}{10} = \frac{20}{10} = 2$ см.
Радиус маленького шарика $r$ соответственно равен: $r = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Нахождение количества шариков через отношение объемов
Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi \cdot (\text{радиус})^3$. Пусть $N$ — искомое количество маленьких шариков. Тогда: $N = \frac{\text{Объем большого шара}}{\text{Объем маленького шарика}} = \frac{V_{большой}}{V_{маленький}}$

Подставим формулу объема: $N = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi r^3}$

Общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ в числителе и знаменателе сокращается, и формула упрощается до отношения кубов радиусов: $N = \frac{R^3}{r^3} = \left(\frac{R}{r}\right)^3$

Теперь подставим числовые значения радиусов: $N = \left(\frac{10}{1}\right)^3 = 10^3 = 1000$.

Таким образом, из одного большого шара получится 1000 маленьких шариков.

Ответ: 1000 шариков.