Номер 291, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

291. Есть четыре тела — куб, шар, цилиндр и конус, причем диаметры оснований цилиндра и конуса равны их высотам. Поверхности всех этих тел равны друг другу. Определите, какое из этих тел имеет наибольший объем и какое — наименьший.

Для решения задачи необходимо выразить объем каждого из четырех тел через его площадь поверхности, а затем сравнить полученные значения.

Пусть $S$ — площадь поверхности каждого из тел. Выведем формулы для объема $V$ каждого тела в зависимости от $S$.

Для куба с ребром $a$:
Площадь поверхности $S = 6a^2$, откуда $a = \sqrt{S/6}$.
Объем $V_{куб} = a^3 = (\sqrt{S/6})^3 = \frac{S\sqrt{S}}{6\sqrt{6}}$.

Для шара с радиусом $R$:
Площадь поверхности $S = 4\pi R^2$, откуда $R = \sqrt{S/(4\pi)}$.
Объем $V_{шар} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\sqrt{S/(4\pi)}\right)^3 = \frac{S\sqrt{S}}{6\sqrt{\pi}}$.

Для цилиндра с радиусом основания $r$ и высотой $h$, у которого по условию диаметр основания равен высоте ($2r=h$):
Площадь полной поверхности $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r (2r) = 6\pi r^2$. Отсюда $r = \sqrt{S/(6\pi)}$.
Объем $V_{цил} = \pi r^2 h = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3 = 2\pi \left(\sqrt{S/(6\pi)}\right)^3 = \frac{S\sqrt{S}}{3\sqrt{6\pi}}$.

Для конуса с радиусом основания $r$ и высотой $h$, у которого по условию диаметр основания равен высоте ($2r=h$):
Образующая $l = \sqrt{h^2+r^2} = \sqrt{(2r)^2+r^2} = r\sqrt{5}$.
Площадь полной поверхности $S = \pi r^2 + \pi r l = \pi r^2(1+\sqrt{5})$. Отсюда $r = \sqrt{S/(\pi(1+\sqrt{5}))}$.
Объем $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^2 (2r) = \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi \left(\sqrt{S/(\pi(1+\sqrt{5}))}\right)^3 = \frac{2S\sqrt{S}}{3\sqrt{\pi}(1+\sqrt{5})^{3/2}}$.

Теперь сравним объемы. Для удобства сравнения возведем выражения для объемов в квадрат. Объем будет тем больше, чем больше его квадрат.

Квадраты объемов:

• $V_{куб}^2 = \left(\frac{S\sqrt{S}}{6\sqrt{6}}\right)^2 = \frac{S^3}{216}$
• $V_{шар}^2 = \left(\frac{S\sqrt{S}}{6\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{S^3}{36\pi}$
• $V_{цил}^2 = \left(\frac{S\sqrt{S}}{3\sqrt{6\pi}}\right)^2 = \frac{S^3}{54\pi}$
• $V_{кон}^2 = \left(\frac{2S\sqrt{S}}{3\sqrt{\pi}(1+\sqrt{5})^{3/2}}\right)^2 = \frac{4S^3}{9\pi(1+\sqrt{5})^3} = \frac{4S^3}{9\pi \cdot 8(2+\sqrt{5})} = \frac{S^3}{18\pi(2+\sqrt{5})}$

Чтобы сравнить эти дроби, достаточно сравнить их знаменатели. Чем меньше знаменатель, тем больше значение дроби и, соответственно, объем. Сравним числовые значения знаменателей, используя $\pi \approx 3.1416$ и $\sqrt{5} \approx 2.236$:

• Знаменатель для куба: $216$
• Знаменатель для шара: $36\pi \approx 36 \times 3.1416 \approx 113.1$
• Знаменатель для цилиндра: $54\pi \approx 54 \times 3.1416 \approx 169.6$
• Знаменатель для конуса: $18\pi(2+\sqrt{5}) \approx 18 \times 3.1416 \times (2+2.236) \approx 56.548 \times 4.236 \approx 239.5$

Расположим знаменатели в порядке возрастания:
$113.1 < 169.6 < 216 < 239.5$
Это соответствует следующему порядку для знаменателей:
$36\pi < 54\pi < 216 < 18\pi(2+\sqrt{5})$
Следовательно, для объемов выполняется обратное неравенство:
$V_{шар} > V_{цил} > V_{куб} > V_{кон}$

Таким образом, при одинаковой площади поверхности наибольший объем имеет шар, а наименьший — конус.

Ответ: Наибольший объем имеет шар, наименьший — конус.