Номер 296, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

296*. Учитывая, что плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит этот диаметр на части:

a) в отношении 3 : 1, найдите отношение объемов полученных шаровых сегментов;

б) 3 см и 9 см, найдите объемы полученных шаровых сегментов.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле $V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Пусть $R$ — радиус шара. Диаметр $D=2R$ делится плоскостью на две части, которые являются высотами полученных шаровых сегментов. Обозначим эти высоты как $h_1$ и $h_2$.
По условию, $h_1 + h_2 = D = 2R$ и отношение высот $\frac{h_1}{h_2} = \frac{3}{1}$, откуда $h_1 = 3h_2$.
Подставим $h_1$ в сумму высот: $3h_2 + h_2 = 2R$, что дает $4h_2 = 2R$, и следовательно, $h_2 = \frac{R}{2}$.
Тогда высота первого сегмента $h_1 = 3h_2 = 3 \cdot \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$.
Теперь найдем объемы сегментов, используя формулу.
Объем первого сегмента $V_1$ (с высотой $h_1 = \frac{3R}{2}$):
$V_1 = \pi h_1^2 (R - \frac{h_1}{3}) = \pi (\frac{3R}{2})^2 (R - \frac{3R/2}{3}) = \pi \frac{9R^2}{4} (R - \frac{R}{2}) = \pi \frac{9R^2}{4} \cdot \frac{R}{2} = \frac{9\pi R^3}{8}$.
Объем второго сегмента $V_2$ (с высотой $h_2 = \frac{R}{2}$):
$V_2 = \pi h_2^2 (R - \frac{h_2}{3}) = \pi (\frac{R}{2})^2 (R - \frac{R/2}{3}) = \pi \frac{R^2}{4} (R - \frac{R}{6}) = \pi \frac{R^2}{4} \cdot \frac{5R}{6} = \frac{5\pi R^3}{24}$.
Найдем отношение объемов $V_1$ и $V_2$:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{9\pi R^3}{8}}{\frac{5\pi R^3}{24}} = \frac{9}{8} \cdot \frac{24}{5} = \frac{9 \cdot 3}{5} = \frac{27}{5}$.
Таким образом, отношение объемов равно $27 : 5$.

Ответ: 27 : 5

По условию, диаметр делится на части длиной 3 см и 9 см. Эти длины являются высотами двух шаровых сегментов: $h_1 = 9$ см и $h_2 = 3$ см.
Диаметр шара равен сумме этих высот: $D = h_1 + h_2 = 9 + 3 = 12$ см.
Следовательно, радиус шара $R = \frac{D}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Теперь вычислим объемы каждого сегмента, используя радиус $R=6$ см.
Объем первого сегмента (с высотой $h_1 = 9$ см):
$V_1 = \pi h_1^2 (R - \frac{h_1}{3}) = \pi \cdot 9^2 (6 - \frac{9}{3}) = 81\pi (6 - 3) = 81\pi \cdot 3 = 243\pi$ см³.
Объем второго сегмента (с высотой $h_2 = 3$ см):
$V_2 = \pi h_2^2 (R - \frac{h_2}{3}) = \pi \cdot 3^2 (6 - \frac{3}{3}) = 9\pi (6 - 1) = 9\pi \cdot 5 = 45\pi$ см³.

Ответ: 243π см³ и 45π см³