Номер 300, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

300*. Радиусы поверхностей двояковыпуклой линзы равны 113 мм, а ее толщина — 30 мм. Найдите объем линзы.

Объем двояковыпуклой линзы можно найти, представив ее как тело, образованное двумя одинаковыми шаровыми сегментами, соединенными по основанию. Радиус кривизны каждой сферической поверхности линзы $R$ является радиусом шара, из которого взят соответствующий сегмент.

По условию задачи, радиусы поверхностей линзы равны $R = 113$ мм, а ее толщина $t = 30$ мм. Поскольку линза симметрична, она состоит из двух идентичных шаровых сегментов. Высота каждого сегмента $h$ равна половине толщины линзы:

$h = \frac{t}{2} = \frac{30 \text{ мм}}{2} = 15 \text{ мм}$

Объем одного шарового сегмента вычисляется по формуле:

$V_{\text{сегмента}} = \frac{1}{3}\pi h^2 (3R - h)$

Общий объем линзы $V$ равен сумме объемов двух таких сегментов:

$V = 2 \cdot V_{\text{сегмента}} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi h^2 (3R - h) = \frac{2}{3}\pi h^2 (3R - h)$

Подставим известные значения в формулу для вычисления объема линзы:

$V = \frac{2}{3}\pi \cdot (15)^2 \cdot (3 \cdot 113 - 15)$

Проведем вычисления:

$V = \frac{2}{3}\pi \cdot 225 \cdot (339 - 15)$

$V = \frac{2}{3}\pi \cdot 225 \cdot 324$

Сократим дробь $\frac{2}{3}$ с одним из множителей (например, с 225):

$V = 2\pi \cdot \frac{225}{3} \cdot 324 = 2\pi \cdot 75 \cdot 324$

Теперь перемножим оставшиеся числа:

$V = 150\pi \cdot 324$

$V = 48600\pi \text{ мм}^3$

Ответ: $48600\pi$ мм³.