Номер 304, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

304. Диаметр шара равен 30 см и является осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенной внутри цилиндра.

Для решения этой задачи необходимо найти объем части шара, ограниченной поверхностью цилиндра. Эта геометрическая фигура называется шаровым слоем.

Сначала определим параметры шара и цилиндра: Диаметр шара $D_{шара} = 30$ см, следовательно, его радиус $R = \frac{D_{шара}}{2} = 15$ см. Радиус основания цилиндра $r_{цил} = 12$ см.

Ось цилиндра совпадает с диаметром шара. Найдем высоту шарового слоя, которая равна высоте той части цилиндра, что находится внутри шара. Для этого рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Сечение шара — это круг радиусом $R=15$ см, а сечение цилиндра — прямоугольник, вписанный в этот круг, с шириной $2 \cdot r_{цил} = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Пусть $h$ — половина высоты шарового слоя. Тогда $R$, $r_{цил}$ и $h$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза, а $r_{цил}$ и $h$ — катеты. По теореме Пифагора: $R^2 = r_{цил}^2 + h^2$

Подставим известные значения: $15^2 = 12^2 + h^2$ $225 = 144 + h^2$ $h^2 = 225 - 144 = 81$ $h = \sqrt{81} = 9$ см.

Полная высота шарового слоя $H$ равна $2h$: $H = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Теперь вычислим объем шарового слоя. Это можно сделать, найдя объем всего шара и вычтя из него объемы двух шаровых сегментов, которые отсекаются основаниями цилиндра.

1. Объем всего шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (15)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3375 = 4 \cdot 1125\pi = 4500\pi$ см$^3$.

2. Высота каждого из отсекаемых шаровых сегментов $h_{сегм}$ равна: $h_{сегм} = R - h = 15 - 9 = 6$ см.

3. Объем одного шарового сегмента вычисляется по формуле $V_{сегм} = \frac{1}{3}\pi h_{сегм}^2 (3R - h_{сегм})$: $V_{сегм} = \frac{1}{3}\pi (6)^2 (3 \cdot 15 - 6) = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 (45 - 6) = 12\pi (39) = 468\pi$ см$^3$.

4. Объем двух таких сегментов: $2 \cdot V_{сегм} = 2 \cdot 468\pi = 936\pi$ см$^3$.

5. Искомый объем равен разности объема шара и объема двух сегментов: $V = V_{шара} - 2 \cdot V_{сегм} = 4500\pi - 936\pi = 3564\pi$ см$^3$.

Ответ: $3564\pi$ см$^3$.