Номер 309, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

309. Докажите, что:

a) центры вписанного в конус и описанного около него шаров лежат на оси конуса;

б) отношение объема конуса к объему вписанного в конус шара равно отношению их поверхностей;

в) центры шаров, вписанного в усеченный конус и описанного около него, не совпадают;

г) отношение поверхности шара к полной поверхности описанного около него усеченного конуса равно отношению их объемов.

а) центры вписанного в конус и описанного около него шаров лежат на оси конуса;

Рассмотрим конус и его ось. Ось конуса является осью его вращения.

Вписанный шар:
Шар называется вписанным в конус, если он касается основания конуса и его боковой поверхности. Центр вписанного шара должен быть равноудален от плоскости основания и от всех образующих конуса.
Множество точек, равноудаленных от всех образующих конуса, в силу симметрии вращения, является осью конуса. Так как центр вписанного шара принадлежит этому множеству, он должен лежать на оси конуса.

Описанный шар:
Шар называется описанным около конуса, если вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности шара. Центр описанного шара должен быть равноудален от вершины конуса и от всех точек окружности основания.
Множество точек, равноудаленных от всех точек окружности, есть прямая, перпендикулярная плоскости этой окружности и проходящая через ее центр. Для основания конуса такой прямой является его ось. Следовательно, центр описанного шара должен лежать на оси конуса.

Таким образом, центры обоих шаров лежат на оси конуса.

Ответ: Утверждение доказано.

б) отношение объема конуса к объему вписанного в конус шара равно отношению их поверхностей;

Пусть $V_к$ и $S_к$ — объем и полная поверхность конуса, а $V_ш$ и $S_ш$ — объем и поверхность вписанного в него шара. Пусть радиус вписанного шара равен $r$.

Нам нужно доказать, что $\frac{V_к}{V_ш} = \frac{S_к}{S_ш}$.

Объем любого тела, описанного около шара, можно вычислить по формуле $V = \frac{1}{3} S \cdot r$, где $S$ — полная поверхность тела, а $r$ — радиус вписанного шара. Эта формула получается, если мысленно разбить тело на бесконечно малые пирамиды с вершинами в центре шара и основаниями на поверхности тела. Высота каждой такой пирамиды равна $r$.

Применительно к конусу, его объем $V_к = \frac{1}{3} S_к \cdot r$.

Формулы для объема и поверхности шара: $V_ш = \frac{4}{3}\pi r^3$ и $S_ш = 4\pi r^2$.

Найдем отношение объемов: $$ \frac{V_к}{V_ш} = \frac{\frac{1}{3} S_к \cdot r}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{S_к \cdot r}{4\pi r^3} = \frac{S_к}{4\pi r^2} $$

Так как $S_ш = 4\pi r^2$, получаем: $$ \frac{V_к}{V_ш} = \frac{S_к}{S_ш} $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

в) центры шаров, вписанного в усеченный конус и описанного около него, не совпадают;

Рассмотрим усеченный конус с радиусами оснований $R$ и $r$ ($R > r$) и высотой $H$. Ось усеченного конуса соединяет центры его оснований.

Центр вписанного шара:
Шар можно вписать в усеченный конус тогда и только тогда, когда его образующая $L$ равна сумме радиусов оснований ($L=R+r$). Центр вписанного шара равноудален от обоих оснований, следовательно, он лежит на оси усеченного конуса на высоте $\frac{H}{2}$ от любого из оснований.

Центр описанного шара:
Центр описанного шара равноудален от окружностей обоих оснований. В силу симметрии, он должен лежать на оси усеченного конуса. Пусть центр описанного шара находится на расстоянии $y$ от плоскости большего основания (с радиусом $R$). Радиус описанного шара обозначим $R_ш$. Тогда квадрат радиуса можно выразить двумя способами: $$ R_ш^2 = R^2 + y^2 $$ $$ R_ш^2 = r^2 + (H-y)^2 $$ Приравняем правые части: $$ R^2 + y^2 = r^2 + H^2 - 2Hy + y^2 $$ $$ R^2 = r^2 + H^2 - 2Hy $$ $$ 2Hy = H^2 + r^2 - R^2 $$ $$ y = \frac{H^2 + r^2 - R^2}{2H} $$ Это координата центра описанного шара на оси (с началом в центре большего основания).

Сравним положения центров. Центр вписанного шара находится на высоте $\frac{H}{2}$, а описанного — на высоте $y$. Они совпадут, если $y = \frac{H}{2}$: $$ \frac{H}{2} = \frac{H^2 + r^2 - R^2}{2H} $$ $$ H^2 = H^2 + r^2 - R^2 $$ $$ 0 = r^2 - R^2 $$ $$ R^2 = r^2 \implies R = r $$ Но для усеченного конуса радиусы оснований не равны ($R \neq r$). Следовательно, $y \neq \frac{H}{2}$, и центры вписанного и описанного шаров не совпадают.

Ответ: Утверждение доказано.

г) отношение поверхности шара к полной поверхности описанного около него усеченного конуса равно отношению их объемов.

Пусть $S_ш$ и $V_ш$ — поверхность и объем шара, вписанного в усеченный конус. Пусть $S_{ук}$ и $V_{ук}$ — полная поверхность и объем усеченного конуса.

Нам нужно доказать, что $\frac{S_ш}{S_{ук}} = \frac{V_ш}{V_{ук}}$.

Пусть радиус вписанного шара равен $r_ш$. Как и в пункте (б), для тела, описанного около шара (в данном случае, для усеченного конуса), справедлива формула для объема: $$ V_{ук} = \frac{1}{3} S_{ук} \cdot r_ш $$

Преобразуем равенство, которое нужно доказать: $$ \frac{S_ш}{S_{ук}} = \frac{V_ш}{V_{ук}} \iff S_ш \cdot V_{ук} = V_ш \cdot S_{ук} $$ Подставим в левую часть выражение для $V_{ук}$: $$ S_ш \cdot \left(\frac{1}{3} S_{ук} \cdot r_ш\right) = V_ш \cdot S_{ук} $$ Сократим $S_{ук}$ (так как площадь не равна нулю): $$ \frac{1}{3} S_ш \cdot r_ш = V_ш $$ Теперь подставим формулы для поверхности и объема шара: $S_ш = 4\pi r_ш^2$ и $V_ш = \frac{4}{3}\pi r_ш^3$: $$ \frac{1}{3} (4\pi r_ш^2) \cdot r_ш = \frac{4}{3}\pi r_ш^3 $$ $$ \frac{4}{3}\pi r_ш^3 = \frac{4}{3}\pi r_ш^3 $$ Мы получили тождество, следовательно, исходное утверждение верно.

Ответ: Утверждение доказано.