Номер 313, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

313. Найдите диаметр шара, описанного около правильной треугольной призмы, учитывая, что боковое ребро призмы равно 4 см, а ребро основания — 6 см.

Для нахождения диаметра шара, описанного около правильной треугольной призмы, сначала определим его радиус $R$. Центр описанного шара находится на середине высоты призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований. Радиус шара $R$, высота призмы $h$ и радиус $r$ окружности, описанной около основания, связаны соотношением, которое выводится из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника. Катетами этого треугольника являются половина высоты призмы $\frac{h}{2}$ и радиус описанной окружности основания $r$, а гипотенузой — радиус шара $R$.

Формула для квадрата радиуса шара выглядит так:

$$R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$$

Из условия задачи нам известно, что боковое ребро призмы, равное её высоте, $h = 4$ см, а ребро основания $a = 6$ см.

Сперва найдем радиус $r$ окружности, описанной около основания призмы. Основание — это правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 6$ см. Радиус описанной окружности для правильного треугольника вычисляется по формуле:

$$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

Подставим значение $a$:

$$r = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$$

Теперь, зная $r$ и $h$, мы можем вычислить радиус шара $R$. Подставим значения в основную формулу:

$$R^2 = (2\sqrt{3})^2 + \left(\frac{4}{2}\right)^2$$

$$R^2 = (4 \cdot 3) + 2^2 = 12 + 4 = 16$$

Отсюда находим радиус $R$:

$$R = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$$

Наконец, найдем диаметр шара $D$, который по определению равен удвоенному радиусу:

$$D = 2R = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}$$

Ответ: 8 см.