Номер 315, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

315. В шар с радиусом $r$ вписана правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны друг другу. Найдите ребро призмы.

Пусть a — искомая длина ребра правильной шестиугольной призмы. По условию задачи, все ребра призмы равны друг другу. Это означает, что сторона основания призмы равна a, и ее высота h также равна a.

Поскольку призма вписана в шар, все ее вершины лежат на поверхности шара. Центр шара совпадает с центром симметрии призмы, который находится на середине высоты, соединяющей центры оснований.

Для того чтобы найти связь между ребром призмы a и радиусом шара r, рассмотрим прямоугольный треугольник. Этот треугольник образуют:

1. Радиус шара r, который является гипотенузой.
2. Расстояние от центра шара до центра основания призмы, которое является одним из катетов. Это расстояние равно половине высоты призмы, то есть $h/2 = a/2$.
3. Радиус R окружности, описанной около шестиугольного основания, который является вторым катетом. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне, следовательно, $R = a$.

Применив теорему Пифагора для этого треугольника, получаем следующее равенство:
$r^2 = (a/2)^2 + R^2$

Теперь подставим в это уравнение выражения для h и R через a:
$r^2 = (a/2)^2 + a^2$
$r^2 = \frac{a^2}{4} + a^2$
$r^2 = \frac{a^2 + 4a^2}{4}$
$r^2 = \frac{5a^2}{4}$

Из полученного уравнения выразим ребро призмы a:
$a^2 = \frac{4r^2}{5}$
$a = \sqrt{\frac{4r^2}{5}} = \frac{2r}{\sqrt{5}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{5}$:
$a = \frac{2r \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}r}{5}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}r$.