Номер 316, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

316. В шар с радиусом $R$ вписана правильная четырехугольная призма, диагональ которой составляет с боковой гранью угол $\alpha$. Найдите ее объем.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, вписанная в шар радиуса $R$. В основании призмы лежит квадрат $ABCD$ со стороной, равной $a$, а высота призмы равна $h$.

Так как призма вписана в шар, все ее вершины лежат на поверхности шара. Это означает, что главная диагональ призмы (например, $AC_1$) является диаметром шара. Длина главной диагонали $D$ равна $2R$.

Квадрат главной диагонали призмы связан с ее измерениями (длиной, шириной и высотой) следующим соотношением, которое следует из теоремы Пифагора:

$D^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2$

Подставляя $D = 2R$, получаем первое ключевое уравнение:

$(2R)^2 = 2a^2 + h^2 \implies 4R^2 = 2a^2 + h^2$ (1)

Согласно условию задачи, диагональ призмы $AC_1$ составляет с боковой гранью, например $BCC_1B_1$, угол $\alpha$. Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Чтобы найти проекцию диагонали $AC_1$ на плоскость грани $BCC_1B_1$, спроецируем ее концы на эту плоскость. Точка $C_1$ уже лежит в этой плоскости. Поскольку призма правильная (а значит, прямая), ее боковое ребро $AB$ перпендикулярно плоскости основания и, следовательно, перпендикулярно плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Таким образом, проекцией точки $A$ на плоскость $BCC_1B_1$ является точка $B$.

Следовательно, проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость $BCC_1B_1$ является отрезок $BC_1$. Угол между $AC_1$ и ее проекцией $BC_1$ и есть заданный угол $\alpha$, то есть $\angle AC_1B = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC_1$. Так как ребро $AB$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой грани, включая прямую $BC_1$. Значит, треугольник $\triangle ABC_1$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ABC_1=90^\circ$. В этом треугольнике:

• гипотенуза $AC_1$ равна главной диагонали $D = 2R$;
• катет $AB$ равен стороне основания $a$ и является противолежащим углу $\alpha$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin \alpha = \frac{AB}{AC_1} = \frac{a}{2R}$

Из этого соотношения выразим сторону основания $a$:

$a = 2R \sin \alpha$ (2)

Теперь найдем высоту призмы $h$, подставив полученное выражение для $a$ в уравнение (1):

$4R^2 = 2(2R \sin \alpha)^2 + h^2$

$4R^2 = 2(4R^2 \sin^2 \alpha) + h^2$

$4R^2 = 8R^2 \sin^2 \alpha + h^2$

Выразим $h^2$:

$h^2 = 4R^2 - 8R^2 \sin^2 \alpha = 4R^2(1 - 2\sin^2 \alpha)$

Применим формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

$h^2 = 4R^2 \cos(2\alpha)$

$h = \sqrt{4R^2 \cos(2\alpha)} = 2R\sqrt{\cos(2\alpha)}$

Объем призмы $V$ равен произведению площади ее основания $S_{осн}$ на высоту $h$.

$V = S_{осн} \cdot h = a^2 \cdot h$

Подставим найденные выражения для $a$ и $h$:

$V = (2R \sin \alpha)^2 \cdot (2R\sqrt{\cos(2\alpha)})$

$V = 4R^2 \sin^2 \alpha \cdot 2R\sqrt{\cos(2\alpha)}$

$V = 8R^3 \sin^2\alpha \sqrt{\cos(2\alpha)}$

Ответ: $V = 8R^3 \sin^2\alpha \sqrt{\cos(2\alpha)}$