Номер 318, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

318. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, в котором два шара с радиусом $r$ расположены так, что каждый касается другого шара и пяти граней параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a, b, c$. Внутри него расположены два шара радиусом $r$.

Рассмотрим один из шаров. По условию, он касается пяти из шести граней параллелепипеда. Это означает, что он не касается только одной грани.

Установим систему координат так, чтобы грани параллелепипеда лежали в плоскостях $x=0, x=a$; $y=0, y=b$; $z=0, z=c$.

Пусть первый шар не касается грани в плоскости $x=a$. Тогда он должен касаться остальных пяти граней: $x=0$, $y=0$, $y=b$, $z=0$, $z=c$.

Если шар касается двух параллельных граней (например, $y=0$ и $y=b$), то расстояние между этими гранями должно быть равно диаметру шара. Таким образом, измерение $b$ параллелепипеда равно $2r$. Центр шара будет находиться на равном расстоянии $r$ от этих граней. Аналогично, если шар касается граней $z=0$ и $z=c$, то измерение $c$ параллелепипеда равно $2r$.

Из условия, что шар касается грани $x=0$, следует, что его центр должен находиться на расстоянии $r$ от этой грани.

Следовательно, два измерения параллелепипеда равны $b=2r$ и $c=2r$. Координаты центра первого шара, обозначим его $C_1$, будут $(r, r, r)$.

Теперь рассмотрим второй шар. Он также касается пяти граней и первого шара. Для симметрии и выполнения условий для обоих шаров, второй шар не должен касаться противоположной грани, то есть грани $x=0$.

Таким образом, второй шар касается граней $x=a$, $y=0$, $y=b$, $z=0$, $z=c$. Из условий касания граней в плоскостях $y$ и $z$ следует, что его центр ($C_2$) также имеет координаты $y=r$ и $z=r$. Из условия касания грани $x=a$ следует, что координата $x$ его центра равна $a-r$. Итак, координаты центра второго шара $C_2$ равны $(a-r, r, r)$.

По условию, шары касаются друг друга. Это означает, что расстояние между их центрами $C_1$ и $C_2$ равно сумме их радиусов, то есть $r+r=2r$.

Найдем расстояние между центрами $C_1(r, r, r)$ и $C_2(a-r, r, r)$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве: $d = \sqrt{((a-r)-r)^2 + (r-r)^2 + (r-r)^2} = \sqrt{(a-2r)^2} = |a-2r|$.

Приравняем это расстояние к $2r$: $|a-2r| = 2r$.

Это уравнение имеет два возможных решения: $a-2r = 2r$, что дает $a=4r$. Или $a-2r = -2r$, что дает $a=0$, а это невозможно для измерения параллелепипеда.

Итак, третье измерение параллелепипеда равно $a=4r$.

Мы нашли все три измерения параллелепипеда: $a=4r$, $b=2r$, $c=2r$.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Подставим найденные значения: $V = (4r) \cdot (2r) \cdot (2r) = 16r^3$.

Ответ: $16r^3$.