Номер 325, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

325. В конус с радиусом основания $r$ и образующей $l$, вписан шар. Найдите длину линии, по которой шар касается боковой поверхности конуса.

Для решения задачи найдем радиус окружности, по которой вписанный шар касается боковой поверхности конуса. Затем, зная радиус, вычислим длину этой окружности.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $2r$ (диаметр основания конуса) и боковыми сторонами, равными образующей $l$. Сечение вписанного шара — это окружность, вписанная в этот треугольник.

Обозначим высоту конуса как $H$, вершину конуса как $S$, центр основания как $O$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей, по теореме Пифагора находим высоту конуса: $H = \sqrt{l^2 - r^2}$

Линия касания шара и боковой поверхности конуса является окружностью. В осевом сечении точки касания — это точки $K$ и $K'$ на боковых сторонах треугольника. Радиус этой окружности, обозначим его $r_c$, — это расстояние от точки касания $K$ до оси конуса $SO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $S$ — вершина конуса, $O$ — центр основания, $A$ — точка на окружности основания. $SO = H$, $OA = r$, $SA = l$. Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности (сечения шара) и стороны $SA$. Расстояние от вершины $S$ до точки касания $K$ можно найти как разность полупериметра осевого сечения и стороны, противолежащей вершине $S$. Полупериметр $p$ треугольника сечения равен: $p = \frac{l + l + 2r}{2} = l+r$ Длина отрезка $SK$ равна: $SK = p - 2r = (l+r) - 2r = l-r$

Теперь рассмотрим треугольник, образованный отрезком $SK$ и радиусом искомой окружности касания $r_c$. Этот радиус является перпендикуляром, опущенным из точки $K$ на высоту $SO$. Обозначим угол при вершине конуса в треугольнике $SOA$ как $\alpha = \angle ASO$. Из треугольника $SOA$ имеем: $\sin(\alpha) = \frac{OA}{SA} = \frac{r}{l}$

В прямоугольном треугольнике, образованном отрезком $SK$ и радиусом $r_c$, радиус $r_c$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Таким образом: $r_c = SK \cdot \sin(\alpha)$ Подставим найденные значения $SK$ и $\sin(\alpha)$: $r_c = (l-r) \cdot \frac{r}{l} = \frac{r(l-r)}{l}$

Теперь, зная радиус окружности касания $r_c$, мы можем найти ее длину $L$ по формуле длины окружности $L = 2\pi r_c$: $L = 2\pi \cdot \frac{r(l-r)}{l}$

Ответ: $2\pi \frac{r(l-r)}{l}$