Номер 329, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

329. Найдите радиус шара, описанного около треугольной пирамиды, все ребра которой равны $a$.

Треугольная пирамида, у которой все ребра равны a, является правильным тетраэдром. Обозначим вершины тетраэдра как S, A, B, C, где S — вершина, а ABC — основание. Все грани тетраэдра, включая основание, — это равносторонние треугольники со стороной a.

Центр O описанной около тетраэдра сферы равноудален от всех его вершин, то есть $OA = OB = OC = OS = R$, где R — искомый радиус. В силу симметрии правильного тетраэдра, центр O лежит на его высоте SH, опущенной из вершины S на плоскость основания ABC. Точка H является центром равностороннего треугольника ABC (точкой пересечения медиан, высот и биссектрис).

Найдем радиус окружности, описанной около основания.Радиус $r_{осн}$ окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC со стороной a, равен расстоянию от центра H до вершин основания. Например, $AH$. Высота (и медиана) основания, проведенная из вершины A к стороне BC, равна по теореме Пифагора $\sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Так как центр H делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус описанной окружности основания составляет $\frac{2}{3}$ ее длины: $r_{осн} = AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Найдем высоту тетраэдра.Высоту тетраэдра SH (обозначим ее h) найдем из прямоугольного треугольника SHA. Гипотенуза SA — это ребро тетраэдра, равное a. Катет AH — это радиус описанной окружности основания, $AH = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. По теореме Пифагора: $h^2 = SH^2 = SA^2 - AH^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$. Следовательно, высота тетраэдра $h = SH = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Найдем радиус описанной сферы.Центр сферы O лежит на высоте SH. Рассмотрим прямоугольный треугольник OHA. Его гипотенуза OA равна радиусу сферы R. Катеты — AH и OH. По теореме Пифагора $R^2 = OH^2 + AH^2$. Расстояние от центра сферы до вершины S также равно R, то есть $OS = R$. Так как точка O лежит на отрезке SH, то $OH = SH - OS = h - R$. Подставим это в уравнение теоремы Пифагора: $R^2 = (h - R)^2 + AH^2$. Раскроем скобки: $R^2 = h^2 - 2hR + R^2 + AH^2$. Упростим: $0 = h^2 - 2hR + AH^2$, откуда $2hR = h^2 + AH^2$. Подставим ранее найденные значения $h^2 = \frac{2a^2}{3}$ и $AH^2 = \frac{a^2}{3}$: $2hR = \frac{2a^2}{3} + \frac{a^2}{3} = a^2$. Теперь подставим значение высоты $h = \frac{a\sqrt{6}}{3}$: $2 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} \cdot R = a^2$. Решим уравнение относительно R: $R = \frac{a^2}{2 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}} = \frac{3a^2}{2a\sqrt{6}} = \frac{3a}{2\sqrt{6}}$. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $R = \frac{3a\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{3a\sqrt{6}}{12} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{6}}{4}$