Номер 332, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

332. Найдите объем шара, вписанного в:

а) правильную шестиугольную пирамиду, сторона основания которой равна $a$, а боковое ребро — $b$;

б) пирамиду, учитывая, что ее основанием служит ромб со стороной $a$, острым углом $\alpha$ и двугранными углами $\beta$ при основании.

а)

Объем вписанного шара вычисляется по формуле $V_s = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ - радиус вписанного шара. Вписать шар можно в любую правильную пирамиду. Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды, а его радиус можно найти по формуле, связывающей объем пирамиды $V_p$ и площадь ее полной поверхности $S_{total}$: $r = \frac{3V_p}{S_{total}}$. Для правильной пирамиды эта формула упрощается до $r = \frac{H \cdot h_{base}}{h_{base} + h_{pyr}}$, где $H$ - высота пирамиды, $h_{base}$ - апофема основания (радиус вписанной в основание окружности), $h_{pyr}$ - апофема пирамиды (высота боковой грани). Найдем эти величины.

1. Нахождение высоты пирамиды ($H$).В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник со стороной $a$. Расстояние от центра шестиугольника до любой его вершины равно стороне $a$. Высота пирамиды $H$, боковое ребро $b$ и радиус описанной около основания окружности $R=a$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$H^2 + R^2 = b^2$$H = \sqrt{b^2 - R^2} = \sqrt{b^2 - a^2}$.

2. Нахождение апофемы основания ($h_{base}$).Апофема правильного шестиугольника со стороной $a$ равна высоте равностороннего треугольника, из которых состоит шестиугольник:$h_{base} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. Нахождение апофемы пирамиды ($h_{pyr}$).Апофема пирамиды $h_{pyr}$, высота $H$ и апофема основания $h_{base}$ также образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$h_{pyr} = \sqrt{H^2 + h_{base}^2} = \sqrt{(\sqrt{b^2 - a^2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{b^2 - a^2 + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$.

4. Нахождение радиуса вписанного шара ($r$).Подставим найденные значения $H$, $h_{base}$ и $h_{pyr}$ в формулу для радиуса:$r = \frac{H \cdot h_{base}}{h_{base} + h_{pyr}} = \frac{\sqrt{b^2 - a^2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}} = \frac{a\sqrt{3}\sqrt{b^2 - a^2}}{a\sqrt{3} + \sqrt{4b^2 - a^2}}$.

5. Нахождение объема вписанного шара ($V_s$).Подставим полученный радиус в формулу объема шара:$V_s = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{a\sqrt{3}\sqrt{b^2 - a^2}}{a\sqrt{3} + \sqrt{4b^2 - a^2}} \right)^3 = \frac{4\pi}{3} \frac{a^3 \cdot (\sqrt{3})^3 \cdot (\sqrt{b^2-a^2})^3}{(a\sqrt{3} + \sqrt{4b^2 - a^2})^3} = \frac{4\pi}{3} \frac{3\sqrt{3}a^3(b^2 - a^2)\sqrt{b^2 - a^2}}{(a\sqrt{3} + \sqrt{4b^2 - a^2})^3}$. Упростив, получаем:$V_s = \frac{4\pi\sqrt{3}a^3(b^2 - a^2)\sqrt{b^2 - a^2}}{(a\sqrt{3} + \sqrt{4b^2 - a^2})^3}$.

Ответ: $V_s = \frac{4\pi\sqrt{3}a^3(b^2 - a^2)\sqrt{b^2 - a^2}}{(a\sqrt{3} + \sqrt{4b^2 - a^2})^3}$.

б)

Объем вписанного шара вычисляется по формуле $V_s = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ - радиус вписанного шара. В пирамиду можно вписать шар тогда и только тогда, когда существует точка, равноудаленная от всех ее граней. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Ромб, являющийся основанием пирамиды, имеет вписанную окружность.

1. Нахождение радиуса окружности, вписанной в основание ($r_{base}$).Основанием является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Высота ромба $h_{rhombus}$ равна $a \sin(\alpha)$. Радиус вписанной в ромб окружности $r_{base}$ равен половине его высоты:$r_{base} = \frac{h_{rhombus}}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$.

2. Нахождение радиуса вписанного шара ($r$).Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и перпендикулярное одной из сторон основания. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус вписанной в основание окружности $r_{base}$. Угол между апофемой и радиусом $r_{base}$ в этом сечении равен двугранному углу при основании $\beta$. Центр вписанного шара $I$ лежит на высоте пирамиды $H$. Он также лежит на биссектрисе двугранного угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $r$ (катет, лежащий на высоте $H$), радиусом $r_{base}$ (второй катет) и отрезком биссектрисы угла $\beta$. Угол при основании этого малого треугольника равен $\frac{\beta}{2}$. Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:$\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{r}{r_{base}}$. Отсюда выражаем радиус вписанного шара:$r = r_{base} \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

3. Вычисление радиуса шара ($r$).Подставим найденное значение $r_{base}$:$r = \frac{a \sin(\alpha)}{2} \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

4. Нахождение объема вписанного шара ($V_s$).Подставим полученное выражение для $r$ в формулу объема шара:$V_s = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{a \sin(\alpha)}{2} \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \right)^3 = \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{a^3 \sin^3(\alpha) \tan^3(\frac{\beta}{2})}{8}$. Сократив, получаем окончательный результат:$V_s = \frac{\pi a^3 \sin^3(\alpha) \tan^3(\frac{\beta}{2})}{6}$.

Ответ: $V_s = \frac{\pi a^3}{6} \sin^3(\alpha) \tan^3\left(\frac{\beta}{2}\right)$.