Номер 331, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

331. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 20 см, а радиус шара, описанного около пирамиды, — 12,5 см. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды используется формула:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$
где $S_{осн}$ — это площадь основания (в данном случае квадрата), а $H$ — высота пирамиды.

Найдем высоту пирамиды $H$. Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Радиус этой сферы $R$, высота пирамиды $H$ и ее боковое ребро $l$ связаны следующей формулой:
$R = \frac{l^2}{2H}$
Из условия задачи нам известно, что боковое ребро $l = 20$ см, а радиус описанной сферы $R = 12,5$ см. Подставим эти значения в формулу:
$12,5 = \frac{20^2}{2H}$
$12,5 = \frac{400}{2H}$
$25H = 400$
$H = \frac{400}{25} = 16$ см.

Теперь найдем площадь основания $S_{осн}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и половина диагонали основания (обозначим ее $r$), а гипотенузой — боковое ребро $l$. По теореме Пифагора:
$l^2 = H^2 + r^2$
Найдем квадрат половины диагонали:
$r^2 = l^2 - H^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$
$r = \sqrt{144} = 12$ см.
Вся диагональ основания $d$ равна $2r$:
$d = 2 \cdot 12 = 24$ см.
Площадь квадрата (основания пирамиды) можно найти через его диагональ по формуле $S = \frac{1}{2}d^2$:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 24^2 = \frac{1}{2} \cdot 576 = 288$ см².

Зная площадь основания и высоту, вычислим объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 288 \cdot 16 = 96 \cdot 16 = 1536$ см³.

Ответ: 1536 см³.