Номер 337, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

337. В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$, вписан шар. Найдите объем шара, учитывая, что две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к нему под углом $\beta$.

Пусть дана пирамида $SABCD$, в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $a$ и углом $\angle A = \alpha$. Две боковые грани, пусть это будут $SAB$ и $SAD$, перпендикулярны основанию. Это означает, что их общее ребро $SA$ является высотой пирамиды, т.е. $SA \perp (ABCD)$. Две другие боковые грани, $SBC$ и $SDC$, наклонены к основанию под углом $\beta$.

Найдем высоту пирамиды $H = SA$. Угол между плоскостью боковой грани (например, $SDC$) и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла, который образуется перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения ($DC$). Проведем в плоскости основания высоту ромба $AK \perp DC$. По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $SK$ также будет перпендикулярна $DC$. Таким образом, $\angle SKA$ — это и есть угол наклона грани $SDC$ к основанию, то есть $\angle SKA = \beta$.

Длина высоты ромба $AK$ может быть найдена из площади ромба: $S_{ромба} = a^2 \sin \alpha = a \cdot AK$. Отсюда $AK = a \sin \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAK$ ( $\angle SAK = 90^\circ$ ). Из него находим высоту пирамиды $H$:$H = SA = AK \cdot \tan(\angle SKA) = a \sin \alpha \tan \beta$.

Теперь найдем радиус $r$ вписанного в пирамиду шара. Центр вписанного шара $O$ равноудален от всех пяти граней пирамиды на расстояние $r$.

Для определения положения центра шара $O$ введем систему координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0,0,0)$. Ребро $SA$ направим вдоль оси $Oz$, а ребро $AD$ — вдоль оси $Ox$. Тогда координаты вершин будут:

• $A(0, 0, 0)$
• $S(0, 0, H)$
• $D(a, 0, 0)$
• $B(a \cos \alpha, a \sin \alpha, 0)$

Пусть центр шара $O$ имеет координаты $(x_0, y_0, z_0)$.

1. Расстояние от $O$ до плоскости основания $ABCD$ (плоскость $z=0$) равно $z_0$. Так как шар вписан, это расстояние равно радиусу $r$. Итак, $z_0 = r$.

2. Расстояние от $O$ до плоскости грани $SAD$ (плоскость $y=0$) равно $y_0$. Это расстояние также равно $r$. Итак, $y_0 = r$.

3. Расстояние от $O$ до плоскости грани $SAB$. Эта плоскость проходит через точки $A(0,0,0)$, $S(0,0,H)$ и $B(a \cos \alpha, a \sin \alpha, 0)$. Ее уравнение можно записать в виде $x \sin \alpha - y \cos \alpha = 0$. Расстояние от точки $O(x_0, y_0, z_0)$ до этой плоскости равно:$d = \frac{|x_0 \sin \alpha - y_0 \cos \alpha|}{\sqrt{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}} = |x_0 \sin \alpha - y_0 \cos \alpha|$. Приравнивая это расстояние к $r$ и подставляя $y_0 = r$, получаем:$|x_0 \sin \alpha - r \cos \alpha| = r$. Так как центр шара находится внутри пирамиды, точка $(x_0, y_0)$ должна лежать внутри угла $\angle DAB$. Это означает, что $x_0 \sin \alpha - y_0 \cos \alpha > 0$. Следовательно,$x_0 \sin \alpha - r \cos \alpha = r \implies x_0 \sin \alpha = r(1 + \cos \alpha)$. Используя формулы двойного угла:$x_0 (2 \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)) = r(2 \cos^2(\alpha/2)) \implies x_0 \sin(\alpha/2) = r \cos(\alpha/2) \implies x_0 = r \cot(\alpha/2)$. Таким образом, координаты центра шара: $O(r \cot(\alpha/2), r, r)$.

4. Теперь используем условие касания шара с гранью $SDC$. Найдем уравнение плоскости $SDC$. Она проходит через точки $S(0,0,H)$, $D(a,0,0)$ и $C(a+a\cos\alpha, a\sin\alpha, 0)$. Вектор нормали к этой плоскости можно найти как векторное произведение векторов $\vec{DC} = (a\cos\alpha, a\sin\alpha, 0)$ и $\vec{DS} = (-a, 0, H)$.$\vec{n} = \vec{DC} \times \vec{DS} = (aH\sin\alpha, -aH\cos\alpha, a^2\sin\alpha)$. Уравнение плоскости: $H\sin\alpha \cdot x - H\cos\alpha \cdot y + a\sin\alpha \cdot z + D' = 0$. Подставив координаты точки $D(a,0,0)$, найдем $D'$:$H\sin\alpha \cdot a - 0 + 0 + D' = 0 \implies D' = -aH\sin\alpha$. Уравнение плоскости $SDC$: $H\sin\alpha \cdot x - H\cos\alpha \cdot y + a\sin\alpha \cdot z - aH\sin\alpha = 0$. Расстояние от центра $O(r \cot(\alpha/2), r, r)$ до этой плоскости равно $r$:$r = \frac{|H\sin\alpha (r\cot(\frac{\alpha}{2})) - H\cos\alpha \cdot r + a\sin\alpha \cdot r - aH\sin\alpha|}{\sqrt{(H\sin\alpha)^2 + (-H\cos\alpha)^2 + (a\sin\alpha)^2}} = \frac{|r(H\sin\alpha\cot(\frac{\alpha}{2}) - H\cos\alpha + a\sin\alpha) - aH\sin\alpha|}{\sqrt{H^2 + a^2\sin^2\alpha}}$. Упростим выражение в числителе:$H\sin\alpha\cot(\frac{\alpha}{2}) - H\cos\alpha = H(\sin\alpha\frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} - \cos\alpha) = H(2\cos^2(\alpha/2) - \cos\alpha) = H(\cos\alpha+1-\cos\alpha)=H$. Таким образом, числитель равен $|r(H + a\sin\alpha) - aH\sin\alpha|$. Так как центр шара $O$ и начало координат $A$ лежат по одну сторону от плоскости $SDC$, а для точки $A$ выражение в левой части уравнения плоскости отрицательно ($-aH\sin\alpha < 0$), то и для точки $O$ оно должно быть отрицательным. Значит,$r(H + a\sin\alpha) - aH\sin\alpha < 0$, и модуль раскрывается со знаком минус:$r = \frac{aH\sin\alpha - r(H + a\sin\alpha)}{\sqrt{H^2 + a^2\sin^2\alpha}}$. Из прямоугольного треугольника $\triangle SAK$ имеем $SK = \sqrt{SA^2+AK^2} = \sqrt{H^2 + (a\sin\alpha)^2}$. Также $\cos\beta = \frac{AK}{SK} = \frac{a\sin\alpha}{\sqrt{H^2 + a^2\sin^2\alpha}}$, откуда $\sqrt{H^2 + a^2\sin^2\alpha} = \frac{a\sin\alpha}{\cos\beta}$. Подставляем в уравнение для $r$:$r = \frac{aH\sin\alpha - r(H + a\sin\alpha)}{a\sin\alpha / \cos\beta}$.$r \frac{a\sin\alpha}{\cos\beta} = aH\sin\alpha - r(H + a\sin\alpha)$.$r(\frac{a\sin\alpha}{\cos\beta} + H + a\sin\alpha) = aH\sin\alpha$.$r = \frac{aH\sin\alpha}{H + a\sin\alpha + \frac{a\sin\alpha}{\cos\beta}}$. Подставим $H = a \sin \alpha \tan \beta$:$r = \frac{a(a \sin \alpha \tan \beta)\sin\alpha}{a \sin \alpha \tan \beta + a\sin\alpha + \frac{a\sin\alpha}{\cos\beta}} = \frac{a^2 \sin^2 \alpha \tan \beta}{a\sin\alpha(\tan\beta + 1 + \frac{1}{\cos\beta})}$.$r = \frac{a \sin \alpha \tan \beta}{1 + \tan\beta + \frac{1}{\cos\beta}} = \frac{a \sin \alpha \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1 + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} + \frac{1}{\cos\beta}} = \frac{a \sin \alpha \sin\beta}{\cos\beta + \sin\beta + 1}$.

Теперь, зная радиус шара, можем найти его объем по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

$V = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{a \sin \alpha \sin\beta}{1 + \cos\beta + \sin\beta} \right)^3 = \frac{4\pi a^3 \sin^3 \alpha \sin^3\beta}{3(1 + \cos\beta + \sin\beta)^3}$.

Ответ: Объем шара равен $V = \frac{4\pi a^3 \sin^3 \alpha \sin^3\beta}{3(1 + \sin\beta + \cos\beta)^3}$.