Номер 336, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

336. В шар с радиусом $R$ вписана пирамида, основанием которой является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при вершине, а каждое боковое ребро составляет с основанием угол в $60^\circ$. Найдите ее объем.

Пусть $SABC$ — данная пирамида, вписанная в шар радиуса $R$. Основание $ABC$ — равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при вершине $A$. Пусть $H$ — высота пирамиды, а $O_1$ — проекция вершины $S$ на плоскость основания.

Так как все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания одинаковый угол $60^\circ$, то вершина $S$ проектируется в центр $O_1$ окружности, описанной около основания $ABC$. Пусть $r_{о}$ — радиус этой окружности ($r_{о} = O_1A = O_1B = O_1C$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SO_1A$. Катет $O_1A = r_{о}$, а угол $\angle SAO_1 = 60^\circ$ по условию. Высота пирамиды $H = SO_1$ связана с радиусом $r_{о}$ соотношением:$H = O_1A \cdot \tan(60^\circ) = r_{о}\sqrt{3}$.

Поскольку пирамида вписана в шар, ее вершины лежат на поверхности шара. Центр шара $O$ лежит на прямой $SO_1$ (оси пирамиды). Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через точки $S$, $O$ и $A$. Точки $S$ и $A$ лежат на сфере, поэтому $OS = OA = R$. Треугольник $OO_1A$ является прямоугольным с гипотенузой $OA=R$ и катетом $O_1A=r_{о}$. Расстояние от центра шара до плоскости основания равно $OO_1 = \sqrt{OA^2 - O_1A^2} = \sqrt{R^2 - r_{о}^2}$.

Высота пирамиды $H=SO_1$ складывается из отрезков $SO$ и $OO_1$. Так как угол наклона ребер $60^\circ > 45^\circ$, пирамида является "высокой", и ее вершина $S$ и основание $ABC$ лежат по разные стороны от центра шара $O$. Таким образом, $H = SO_1 = SO + OO_1 = R + \sqrt{R^2 - r_{о}^2}$.

Теперь у нас есть два выражения для высоты $H$. Приравняем их, чтобы найти $r_{о}$:$r_{о}\sqrt{3} = R + \sqrt{R^2 - r_{о}^2}$$r_{о}\sqrt{3} - R = \sqrt{R^2 - r_{о}^2}$Возведем обе части в квадрат (при условии $r_{о}\sqrt{3} - R \ge 0$):$(r_{о}\sqrt{3} - R)^2 = R^2 - r_{о}^2$$3r_{о}^2 - 2\sqrt{3}Rr_{о} + R^2 = R^2 - r_{о}^2$$4r_{о}^2 - 2\sqrt{3}Rr_{о} = 0$$2r_{о}(2r_{о} - \sqrt{3}R) = 0$Поскольку $r_{о} \neq 0$, то $2r_{о} = \sqrt{3}R$, откуда $r_{о} = \frac{\sqrt{3}}{2}R$. Проверим условие: $r_{о}\sqrt{3} - R = (\frac{\sqrt{3}}{2}R)\sqrt{3} - R = \frac{3}{2}R - R = \frac{1}{2}R > 0$. Условие выполнено.

Теперь найдем высоту пирамиды $H$:$H = r_{о}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}R \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2}R$.

Далее найдем площадь основания $S_{осн}$. Основание — равнобедренный треугольник с углом при вершине $\alpha$ и радиусом описанной окружности $r_{о} = \frac{\sqrt{3}}{2}R$. Пусть боковые стороны треугольника равны $b$. По обобщенной теореме синусов, для боковой стороны $b$ и противолежащего ей угла $\beta = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ имеем:$\frac{b}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})} = 2r_{о} \implies b = 2r_{о}\cos(\frac{\alpha}{2})$. Площадь треугольника равна $S_{осн} = \frac{1}{2}b^2 \sin \alpha$.$S_{осн} = \frac{1}{2} (2r_{о} \cos(\frac{\alpha}{2}))^2 \sin \alpha = 2r_{о}^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \sin \alpha$. Подставим найденное значение $r_{о}$:$S_{осн} = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}R\right)^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \sin \alpha = 2 \cdot \frac{3}{4}R^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \sin \alpha = \frac{3}{2}R^2 \sin \alpha \cos^2(\frac{\alpha}{2})$.

Наконец, вычислим объем пирамиды по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$:$V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{2}R^2 \sin \alpha \cos^2(\frac{\alpha}{2})\right) \cdot \left(\frac{3}{2}R\right) = \frac{9}{12}R^3 \sin \alpha \cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{3}{4}R^3 \sin \alpha \cos^2(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $V = \frac{3}{4}R^3 \sin \alpha \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.