Номер 340, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

340. Найдите поверхность и объем шара, описанного около правильной треугольной усеченной пирамиды, у которой высота равна 17 см, а радиусы окружностей, описанных около основания, — 5 см и 12 см.

Для нахождения поверхности и объема шара, описанного около правильной усеченной треугольной пирамиды, необходимо сначала определить радиус этого шара ($R$).

Поскольку пирамида правильная, центр описанного шара ($O$) лежит на ее высоте. Рассмотрим осевое сечение, проходящее через высоту пирамиды ($H$) и радиусы окружностей, описанных около оснований ($R_1$ и $R_2$).

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры большего и меньшего оснований пирамиды. По условию, высота $H = O_1O_2 = 17$ см, радиус описанной окружности большего основания $R_1 = 12$ см, а меньшего — $R_2 = 5$ см. Пусть $A_1$ — вершина на большем основании, а $A_2$ — на меньшем, причем $A_1$, $A_2$, $O_1$ и $O_2$ лежат в одной плоскости сечения.

Расстояние от центра шара $O$ до любой вершины пирамиды равно радиусу шара $R$. Таким образом, $OA_1 = OA_2 = R$.

Обозначим расстояние от центра шара $O$ до центра большего основания $O_1$ как $x$. Тогда расстояние от $O$ до центра меньшего основания $O_2$ будет равно $H - x = 17 - x$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OO_1A_1$ и $\triangle OO_2A_2$. По теореме Пифагора:

$R^2 = OA_1^2 = O_1A_1^2 + OO_1^2 = R_1^2 + x^2$

$R^2 = OA_2^2 = O_2A_2^2 + OO_2^2 = R_2^2 + (H - x)^2$

Приравняем выражения для $R^2$:

$R_1^2 + x^2 = R_2^2 + (H - x)^2$

Подставим известные значения:

$12^2 + x^2 = 5^2 + (17 - x)^2$

$144 + x^2 = 25 + 289 - 34x + x^2$

$144 = 314 - 34x$

$34x = 314 - 144$

$34x = 170$

$x = \frac{170}{34} = 5$ см.

Теперь найдем квадрат радиуса шара:

$R^2 = R_1^2 + x^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

Следовательно, радиус шара $R = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь мы можем найти поверхность и объем шара.

Поверхность шара

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

Подставим найденное значение радиуса $R = 13$ см:

$S = 4\pi \cdot 13^2 = 4\pi \cdot 169 = 676\pi$ см$^2$.

Ответ: $676\pi$ см$^2$.

Объем шара

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим найденное значение радиуса $R = 13$ см:

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 13^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 2197 = \frac{8788}{3}\pi$ см$^3$.

Ответ: $\frac{8788}{3}\pi$ см$^3$.