Номер 347, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

347*. В конус вписан цилиндр, полная поверхность которого равна боковой поверхности конуса. Наибольший угол между образующими конуса — прямой. Докажите, что вершина конуса отстоит от верхнего основания цилиндра на половину образующей конуса.

Обозначим радиус основания конуса как $R$, его высоту как $H$, и длину образующей как $L$. Для вписанного цилиндра обозначим радиус основания как $r$ и высоту как $h$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок.конуса} = \pi R L$.

Полная поверхность цилиндра состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований: $S_{полн.цил} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)$.

По условию задачи, эти площади равны: $S_{полн.цил} = S_{бок.конуса}$ $2\pi r(h+r) = \pi R L$ $2r(h+r) = RL$ (1)

Также в условии сказано, что наибольший угол между образующими конуса — прямой. Это означает, что осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник, где катеты равны образующей $L$, а гипотенуза — диаметру основания конуса $2R$.

Из теоремы Пифагора для этого треугольника имеем: $L^2 + L^2 = (2R)^2$, что приводит к $2L^2 = 4R^2$, или $L^2 = 2R^2$. Отсюда $L = R\sqrt{2}$. Высота конуса $H$ в данном случае является медианой, проведенной к гипотенузе, и равна ее половине: $H = \frac{1}{2}(2R) = R$.

Рассмотрим осевое сечение всей композиции. Сечение конуса — это равнобедренный треугольник с высотой $H$ и основанием $2R$. Сечение цилиндра — это прямоугольник с высотой $h$ и стороной $2r$, вписанный в этот треугольник.

Малый конус, расположенный над цилиндром, подобен большому конусу. Высота малого конуса равна $H_{1} = H - h$. Это и есть искомое расстояние от вершины конуса до верхнего основания цилиндра. Радиус основания малого конуса равен радиусу цилиндра $r$.

Из подобия треугольников (осевых сечений малого и большого конусов) следует соотношение: $\frac{H-h}{H} = \frac{r}{R}$

Так как мы установили, что для данного конуса $H = R$, соотношение упрощается: $\frac{R-h}{R} = \frac{r}{R}$ $R-h = r$, откуда $h = R-r$.

Теперь подставим это выражение для $h$ в уравнение (1): $2r((R-r)+r) = RL$ $2rR = RL$

Поскольку радиус конуса $R > 0$, мы можем сократить обе части на $R$: $2r = L$, или $r = \frac{L}{2}$.

Нам нужно доказать, что расстояние от вершины конуса до верхнего основания цилиндра, то есть $H_{1} = H-h$, равно половине образующей конуса $L/2$. Как мы ранее выяснили из подобия и свойства $H=R$, имеем $H-h = r$. А поскольку мы только что нашли, что $r = \frac{L}{2}$, то и $H-h = \frac{L}{2}$.

Таким образом, доказано, что вершина конуса отстоит от верхнего основания цилиндра на половину образующей конуса.

Ответ: Утверждение доказано. Расстояние от вершины конуса до верхнего основания цилиндра равно половине образующей конуса.