Номер 344, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

344*. В треугольную пирамиду с высотами $h_1$, $h_2$, $h_3$, $h_4$ вписан шар с радиусом $R$. Докажите, что $\frac{1}{R} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4}$.

Доказательство

Пусть $V$ — объём данной треугольной пирамиды. Обозначим площади её четырёх граней как $S_1, S_2, S_3, S_4$. Пусть $h_1, h_2, h_3, h_4$ — высоты пирамиды, опущенные на эти грани соответственно.

Объём любой пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота, проведённая к этому основанию. Применительно к нашей задаче, мы можем выразить объём пирамиды четырьмя различными способами, принимая каждую грань за основание:

$V = \frac{1}{3} S_1 h_1$

$V = \frac{1}{3} S_2 h_2$

$V = \frac{1}{3} S_3 h_3$

$V = \frac{1}{3} S_4 h_4$

Из этих соотношений можно выразить площадь каждой грани через объём пирамиды и соответствующую высоту:

$S_1 = \frac{3V}{h_1}, \quad S_2 = \frac{3V}{h_2}, \quad S_3 = \frac{3V}{h_3}, \quad S_4 = \frac{3V}{h_4}$

Теперь рассмотрим вписанный в пирамиду шар. Пусть его радиус равен $R$, а центр находится в точке $O$. По определению, центр вписанного шара равноудалён от всех граней пирамиды, и это расстояние равно радиусу $R$.

Мы можем разбить исходную пирамиду на четыре меньшие пирамиды, общей вершиной которых является центр вписанного шара $O$, а основаниями — грани исходной пирамиды $S_1, S_2, S_3, S_4$. Высота каждой из этих меньших пирамид, опущенная из вершины $O$ на её основание (грань исходной пирамиды), будет равна радиусу вписанного шара $R$.

Объём исходной пирамиды $V$ равен сумме объёмов этих четырёх меньших пирамид: $V = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = \frac{1}{3} S_1 R + \frac{1}{3} S_2 R + \frac{1}{3} S_3 R + \frac{1}{3} S_4 R$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}R$ за скобки: $V = \frac{1}{3}R (S_1 + S_2 + S_3 + S_4)$

Теперь подставим в полученное равенство выражения для площадей граней $S_1, S_2, S_3, S_4$: $V = \frac{1}{3}R \left( \frac{3V}{h_1} + \frac{3V}{h_2} + \frac{3V}{h_3} + \frac{3V}{h_4} \right)$

Внутри скобок можно вынести общий множитель $3V$: $V = \frac{1}{3}R \cdot 3V \left( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4} \right)$

Упростим выражение, сократив $3$ и $\frac{1}{3}$: $V = R \cdot V \left( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4} \right)$

Поскольку объём пирамиды $V$ — величина ненулевая ($V > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $V$: $1 = R \left( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4} \right)$

Наконец, разделив обе части на $R$ (так как $R > 0$), получаем искомое равенство: $\frac{1}{R} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{1}{R} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4}$