Номер 1, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

1. Как образуется многогранный угол?

1. Как образуется многогранный угол?

Многогранный угол — это часть пространства, ограниченная несколькими плоскими углами (гранями), имеющими общую вершину. Процесс его образования можно описать по шагам:

1. Выбирается точка $O$ в пространстве, которая будет вершиной многогранного угла.
2. Из этой точки проводятся несколько лучей (не менее трех), например, $l_1, l_2, \dots, l_n$. Эти лучи называются ребрами многогранного угла. Важное условие: никакие три луча не должны лежать в одной плоскости.
3. Каждая пара соседних ребер образует плоский угол. Например, лучи $l_1$ и $l_2$ образуют угол $\angle(l_1, l_2)$. Эти плоские углы называются гранями многогранного угла.

Таким образом, многогранный угол образован поверхностью, состоящей из нескольких граней с общей вершиной, где каждое ребро является общим для двух соседних граней. Фигура представляет собой область пространства, "заключенную" внутри этой поверхности.

Для любого выпуклого многогранного угла справедливо важное свойство: сумма всех его плоских углов всегда меньше $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан). Если $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ — это величины плоских углов, то выполняется неравенство:
$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i < 360^\circ$

Ответ: Многогранный угол образуется несколькими плоскостями, пересекающимися в одной общей точке (вершине), или, что эквивалентно, совокупностью плоских углов (граней) с общей вершиной, где ребра одного угла служат ребрами для соседних.

2. Какие бывают многогранные углы?

Многогранные углы классифицируются по нескольким основным признакам:

По числу граней:

• Трехгранный угол — образован тремя гранями. Это самый простой и часто встречающийся вид многогранного угла.
• Четырехгранный угол — образован четырьмя гранями.
• $n$-гранный угол — обобщенное название для угла, образованного $n$ гранями, где $n$ — целое число, $n \ge 3$.

По форме (выпуклости):

• Выпуклый многогранный угол — это угол, который целиком расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Для таких углов сумма всех плоских углов строго меньше $360^\circ$. Большинство углов, рассматриваемых в школьном курсе стереометрии, являются выпуклыми.
• Невыпуклый (вогнутый) многогранный угол — угол, не являющийся выпуклым. Он пересекается плоскостями, содержащими его грани. Сумма его плоских углов может быть равна или больше $360^\circ$.

По равенству элементов:

• Правильный многогранный угол — это выпуклый угол, у которого все плоские углы равны между собой и все двугранные углы (углы между соседними гранями) также равны между собой. Вершины правильных многогранников (например, тетраэдра, куба, октаэдра) являются примерами правильных многогранных углов.

Ответ: Многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными и в общем случае $n$-гранными (по числу граней); выпуклыми и невыпуклыми (по форме); правильными (если все их плоские и двугранные углы равны).