Номер 7, страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Каким отношением связаны плоские углы правильного многогранника; многогранные углы правильного многогранника; ребра правильного многогранника?

плоские углы правильного многогранника

По определению, правильный многогранник — это выпуклый многогранник, все грани которого являются равными (конгруэнтными) правильными многоугольниками. Плоские углы многогранника — это внутренние углы его граней. Поскольку все грани являются одинаковыми правильными многоугольниками, то и все их внутренние углы равны между собой. Например, все грани куба — квадраты, поэтому все его плоские углы равны $90^\circ$. Все грани правильного тетраэдра — равносторонние треугольники, поэтому все его плоские углы равны $60^\circ$. В общем случае, если грань — это правильный $n$-угольник, то каждый его угол равен $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Таким образом, все плоские углы одного правильного многогранника равны.

Ответ: Все плоские углы правильного многогранника равны между собой.

многогранные углы правильного многогранника

Многогранный угол образуется в вершине многогранника сходящимися в ней гранями. Одно из свойств правильного многогранника заключается в том, что в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер (и граней). Так как все грани — это равные правильные многоугольники, то и расположение граней в каждой вершине одинаково. Следовательно, все многогранные углы правильного многогранника равны (конгруэнтны) между собой. Каждый такой угол состоит из одинакового числа $k$ одинаковых плоских углов $\alpha$. При этом для существования выпуклого многогранного угла необходимо, чтобы сумма его плоских углов была меньше $360^\circ$, то есть должно выполняться неравенство $k \cdot \alpha < 360^\circ$. Именно это условие ограничивает количество возможных правильных многогранников (Платоновых тел) до пяти.

Ответ: Все многогранные углы правильного многогранника равны (конгруэнтны) между собой.

ребра правильного многогранника

Ребра правильного многогранника являются сторонами его граней. Так как все грани — это равные между собой правильные многоугольники, а у правильного многоугольника все стороны равны, то и все ребра многогранника, являющиеся этими сторонами, также равны между собой по длине. Например, у додекаэдра 12 граней, каждая из которых — правильный пятиугольник. Все эти пятиугольники равны, значит, все их стороны (которые и являются ребрами додекаэдра) имеют одинаковую длину.

Ответ: Все ребра правильного многогранника равны между собой по длине.