Номер 350, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

350*. Докажите, что:

а) если все плоские углы трехгранного угла прямые, то и все двугранные углы также прямые;

б) если два плоских угла трехгранного угла прямые, то и противолежащие им двугранные углы также прямые.

а) если все плоские углы трехгранного угла прямые, то и все двугранные углы также прямые;

Пусть дан трехгранный угол с вершиной в точке $O$ и ребрами $a, b, c$. Плоские углы этого трехгранного угла — это углы между ребрами: $\angle(a, b)$, $\angle(b, c)$ и $\angle(a, c)$. По условию задачи, все эти углы являются прямыми:

$\angle(a, b) = 90^\circ$

$\angle(b, c) = 90^\circ$

$\angle(a, c) = 90^\circ$

Из этого следует, что ребра попарно перпендикулярны: $a \perp b$, $b \perp c$ и $a \perp c$.

Рассмотрим ребро $a$. Так как оно перпендикулярно двум пересекающимся ребрам $b$ и $c$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ребро $a$ перпендикулярно плоскости $(b, c)$, которую образуют ребра $b$ и $c$. Аналогично, ребро $b$ перпендикулярно плоскости $(a, c)$, а ребро $c$ перпендикулярно плоскости $(a, b)$.

Теперь найдем величины двугранных углов. Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла. Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя лучами, проведенными в его гранях перпендикулярно к ребру из одной точки на ребре.

Для двугранного угла при ребре $a$: ребро $b$ лежит в плоскости $(a, b)$ и перпендикулярно ребру $a$ ($b \perp a$). Ребро $c$ лежит в плоскости $(a, c)$ и также перпендикулярно ребру $a$ ($c \perp a$). Поскольку оба перпендикуляра ($b$ и $c$) к ребру $a$ исходят из одной точки $O$, то угол между ними, $\angle(b, c)$, является линейным углом двугранного угла при ребре $a$. По условию, $\angle(b, c) = 90^\circ$, следовательно, двугранный угол при ребре $a$ является прямым.

Аналогично для двух других двугранных углов:

Линейным углом двугранного угла при ребре $b$ является плоский угол $\angle(a, c)$. Так как $\angle(a, c) = 90^\circ$, то и двугранный угол при ребре $b$ — прямой.

Линейным углом двугранного угла при ребре $c$ является плоский угол $\angle(a, b)$. Так как $\angle(a, b) = 90^\circ$, то и двугранный угол при ребре $c$ — прямой.

Таким образом, все три двугранных угла трехгранного угла также являются прямыми. Что и требовалось доказать.

Ответ: все двугранные углы также прямые.

б) если два плоских угла трехгранного угла прямые, то и противолежащие им двугранные углы также прямые.

Пусть дан трехгранный угол с вершиной в точке $O$ и ребрами $a, b, c$. По условию, два плоских угла являются прямыми. Пусть это будут углы $\angle(a, b)$ и $\angle(a, c)$.

$\angle(a, b) = 90^\circ \implies a \perp b$

$\angle(a, c) = 90^\circ \implies a \perp c$

Поскольку ребро $a$ перпендикулярно двум пересекающимся ребрам $b$ и $c$ в их точке пересечения $O$, то, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ребро $a$ перпендикулярно плоскости $(b, c)$, которую они определяют.

Нам нужно доказать, что двугранные углы, противолежащие данным прямым плоским углам, также являются прямыми. Двугранный угол, противолежащий плоскому углу $\angle(a, b)$, — это двугранный угол при ребре $c$. Двугранный угол, противолежащий плоскому углу $\angle(a, c)$, — это двугранный угол при ребре $b$.

Рассмотрим двугранный угол при ребре $b$. Он образован плоскостями $(a, b)$ и $(b, c)$. Мы доказали, что ребро $a$ перпендикулярно плоскости $(b, c)$. Ребро $a$ лежит в плоскости $(a, b)$. Согласно теореме о перпендикулярности двух плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Следовательно, плоскость $(a, b)$ перпендикулярна плоскости $(b, c)$, а значит, двугранный угол при ребре $b$ равен $90^\circ$.

Аналогично рассмотрим двугранный угол при ребре $c$. Он образован плоскостями $(a, c)$ и $(b, c)$. Плоскость $(a, c)$ проходит через ребро $a$, которое перпендикулярно плоскости $(b, c)$. Следовательно, плоскость $(a, c)$ также перпендикулярна плоскости $(b, c)$, и двугранный угол при ребре $c$ равен $90^\circ$.

Таким образом, двугранные углы при ребрах $b$ и $c$, которые противолежат прямым плоским углам $\angle(a, c)$ и $\angle(a, b)$ соответственно, являются прямыми. Что и требовалось доказать.

Ответ: противолежащие им двугранные углы также прямые.