Номер 354, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

354*. Трехгранный угол пересекается параллельными плоскостями. Най-дите геометрическое место:

а) ортоцентров полученных треугольников;

б) центроидов полученных треугольников;

в) центров окружностей, описанных около полученных треугольников.

Пусть $O$ — вершина трехгранного угла. Любая плоскость, пересекающая все три ребра трехгранного угла, высекает на нем треугольник. Пусть $\Pi_1$ и $\Pi_2$ — две такие параллельные плоскости. Они пересекают ребра угла в точках $A_1, B_1, C_1$ и $A_2, B_2, C_2$ соответственно.

Так как плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$ параллельны, то по обобщенной теореме Фалеса (или из соображений подобия) треугольник $A_2B_2C_2$ является образом треугольника $A_1B_1C_1$ при гомотетии с центром в вершине $O$. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению расстояний от точки $O$ до плоскостей $\Pi_2$ и $\Pi_1$. Таким образом, $\vec{OA_2} = k \cdot \vec{OA_1}$, $\vec{OB_2} = k \cdot \vec{OB_1}$, $\vec{OC_2} = k \cdot \vec{OC_1}$.

Семейство всех таких треугольников, полученных пересечением трехгранного угла параллельными плоскостями, является семейством гомотетичных друг другу треугольников с общим центром гомотетии $O$.

При гомотетии любая замечательная точка треугольника (ортоцентр, центроид, центр описанной окружности и т.д.) переходит в соответствующую замечательную точку образа треугольника. Если $P_1$ — некоторая замечательная точка треугольника $A_1B_1C_1$, а $P_2$ — соответствующая ей точка треугольника $A_2B_2C_2$, то их радиус-векторы связаны соотношением $\vec{OP_2} = k \cdot \vec{OP_1}$. Это означает, что все такие точки $P$ для всего семейства треугольников лежат на одном луче, выходящем из вершины $O$.

а) ортоцентров полученных треугольников
Ортоцентр является одной из замечательных точек треугольника. Пусть $H_1$ — ортоцентр треугольника $A_1B_1C_1$. Тогда ортоцентр $H_2$ любого другого треугольника $A_2B_2C_2$ из семейства будет лежать на луче $OH_1$, так как $\vec{OH_2} = k \cdot \vec{OH_1}$. Поскольку мы можем выбрать секущую плоскость на любом положительном расстоянии от вершины (в пределах существования треугольника), геометрическим местом ортоцентров будет луч (без своего начала, так как плоскость не может проходить через вершину $O$), исходящий из вершины трехгранного угла.
Ответ: луч, исходящий из вершины трехгранного угла (без самой вершины).

б) центроидов полученных треугольников
Центроид (точка пересечения медиан) также является замечательной точкой. Пусть $M_1$ — центроид треугольника $A_1B_1C_1$. Его радиус-вектор равен $\vec{OM_1} = \frac{1}{3}(\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1})$. Для любого другого треугольника $A_2B_2C_2$ из семейства радиус-вектор его центроида $M_2$ будет равен $\vec{OM_2} = \frac{1}{3}(\vec{OA_2} + \vec{OB_2} + \vec{OC_2}) = \frac{1}{3}(k\vec{OA_1} + k\vec{OB_1} + k\vec{OC_1}) = k \cdot \vec{OM_1}$. Следовательно, все центроиды лежат на луче $OM_1$.
Ответ: луч, исходящий из вершины трехгранного угла (без самой вершины).

в) центров окружностей, описанных около полученных треугольников
Центр описанной окружности также является замечательной точкой треугольника. По тем же соображениям гомотетии, если $I_1$ — центр описанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$, то центр $I_2$ описанной окружности любого другого треугольника $A_2B_2C_2$ из семейства будет лежать на луче $OI_1$, так как $\vec{OI_2} = k \cdot \vec{OI_1}$. Геометрическим местом таких центров будет луч.
Ответ: луч, исходящий из вершины трехгранного угла (без самой вершины).