Номер 357, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

357. От каждой вершины правильного тетраэдра с ребром $2$ отсекают правильный тетраэдр с ребром $1$. Определите вид полученного тела.

Исходное тело — правильный тетраэдр с длиной ребра 2. Правильный тетраэдр — это многогранник, состоящий из четырех одинаковых равносторонних треугольников. Он имеет 4 вершины и 6 ребер.

Согласно условию, от каждой из 4 вершин этого тетраэдра отсекают по одному меньшему правильному тетраэдру с ребром 1. Рассмотрим, как происходит это отсечение. Возьмем одну вершину исходного тетраэдра. Из нее выходят три ребра длиной 2. Чтобы отсечь от этой вершины правильный тетраэдр с ребром 1, нужно провести плоский срез через три точки, расположенные на этих ребрах на расстоянии 1 от вершины. Так как длина исходных ребер равна 2, эти точки являются их серединами.

Эта операция усечения выполняется для всех 4 вершин. Проанализируем грани получившегося в результате многогранника.

1. Новые грани. На месте каждой из 4-х отсеченных вершин образуется новая грань. Эта грань является треугольником, вершины которого — середины трех ребер, сходившихся в отсеченной вершине. Стороны этого треугольника являются средними линиями исходных граней (равносторонних треугольников со стороной 2). Длина средней линии треугольника равна половине длины основания. Следовательно, стороны новой грани-треугольника равны $2 / 2 = 1$. Таким образом, каждая из 4-х новых граней — это равносторонний треугольник со стороной 1.

2. Старые грани. Исходный тетраэдр имел 4 грани — равносторонние треугольники со стороной 2. После усечения вершин от каждого из этих треугольников по углам отрезаются три маленьких равносторонних треугольника со стороной 1. Центральная часть каждой исходной грани, которая остается, — это тоже равносторонний треугольник, стороны которого являются средними линиями исходной грани. Длина сторон этого центрального треугольника также равна 1. Таким образом, 4 исходные грани превращаются в 4 равносторонних треугольника со стороной 1.

В итоге полученное тело имеет $4$ (новые) $+ 4$ (старые) $= 8$ граней. Все 8 граней являются одинаковыми равносторонними треугольниками со стороной 1. Многогранник с восемью гранями в виде одинаковых равносторонних треугольников называется правильным октаэдром.

Для полной уверенности проверим количество вершин и ребер у полученного тела:

• Вершины: Вершинами нового тела являются середины 6 ребер исходного тетраэдра. Таким образом, у него 6 вершин, что соответствует количеству вершин у октаэдра.
• Ребра: Ребра нового тела соединяют середины смежных ребер исходного тетраэдра. Их длина, как мы выяснили, равна 1. Посчитать их количество можно по формуле Эйлера $В - Р + Г = 2$, где $В=6$ (вершины), $Г=8$ (грани): $6 - Р + 8 = 2$, откуда число ребер $Р = 12$. Это также соответствует количеству ребер у октаэдра.

Таким образом, все характеристики полученного тела совпадают с характеристиками правильного октаэдра.

Ответ: Полученное тело является правильным октаэдром с ребром 1.