Номер 363, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

363. Укажите, сколько осей симметрии имеет:

а) отрезок;

б) правильный треугольник;

в) правильный шестиугольник;

г) куб;

д) правильный тетраэдр;

е) правильный октаэдр.

а) отрезок; Осью симметрии плоской фигуры называется прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. У отрезка, рассматриваемого на плоскости, есть две такие оси:
1. Прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину (серединный перпендикуляр). При отражении относительно этой прямой концы отрезка меняются местами.
2. Прямая, на которой лежит сам отрезок. При отражении относительно этой прямой все точки отрезка остаются на своих местах.
Таким образом, у отрезка две оси симметрии.
Ответ: 2.

б) правильный треугольник; Осями симметрии правильного (равностороннего) треугольника являются прямые, которые проходят через каждую вершину и середину противоположной стороны. В правильном треугольнике эти прямые являются одновременно его высотами, медианами и биссектрисами. Так как у треугольника три вершины, то у него имеется ровно три оси симметрии.
Ответ: 3.

в) правильный шестиугольник; У правильного n-угольника имеется n осей симметрии. Для правильного шестиугольника ($n=6$) существует 6 осей симметрии. Их можно разделить на два типа:
1. Три оси симметрии, каждая из которых проходит через две противоположные вершины.
2. Три оси симметрии, каждая из которых проходит через середины двух противоположных сторон.
Итого: $3 + 3 = 6$ осей симметрии.
Ответ: 6.

г) куб; Осью симметрии для трёхмерного тела является прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол, меньший $360^\circ$, тело совмещается само с собой. У куба есть три типа осей симметрии:
1. Оси, проходящие через центры противоположных граней. Таких осей 3 (так как у куба 6 граней, т.е. 3 пары). Поворот вокруг этих осей на $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$ совмещает куб с самим собой.
2. Оси, проходящие через середины противоположных рёбер. Таких осей 6 (так как у куба 12 рёбер, т.е. 6 пар). Поворот вокруг этих осей на $180^\circ$ совмещает куб с самим собой.
3. Оси, проходящие через противоположные вершины (главные диагонали). Таких осей 4 (так как у куба 8 вершин, т.е. 4 пары). Поворот вокруг этих осей на $120^\circ$ и $240^\circ$ совмещает куб с самим собой.
Общее число осей симметрии куба: $3 + 6 + 4 = 13$.
Ответ: 13.

д) правильный тетраэдр; Правильный тетраэдр — это многогранник, составленный из четырёх равносторонних треугольников. У него есть два типа осей симметрии:
1. Оси, проходящие через вершину и центр противоположной грани. Таких осей 4 (по числу вершин). Поворот вокруг этих осей на $120^\circ$ и $240^\circ$ совмещает тетраэдр с самим собой.
2. Оси, проходящие через середины скрещивающихся (противоположных) рёбер. У тетраэдра 6 рёбер, образующих 3 пары противоположных. Таких осей 3. Поворот на $180^\circ$ вокруг этих осей совмещает тетраэдр с самим собой.
Общее число осей симметрии правильного тетраэдра: $4 + 3 = 7$.
Ответ: 7.

е) правильный октаэдр. Правильный октаэдр — это многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников. Он является двойственным к кубу, поэтому имеет такое же количество осей симметрии. Оси симметрии октаэдра бывают трёх типов:
1. Оси, проходящие через противоположные вершины. Таких осей 3 (так как у октаэдра 6 вершин, т.е. 3 пары). Поворот на $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$ совмещает октаэдр с самим собой.
2. Оси, проходящие через центры противоположных граней. Таких осей 4 (так как у октаэдра 8 граней, т.е. 4 пары). Поворот на $120^\circ$ и $240^\circ$ совмещает октаэдр с самим собой.
3. Оси, проходящие через середины противоположных рёбер. Таких осей 6 (так как у октаэдра 12 рёбер, т.е. 6 пар). Поворот на $180^\circ$ совмещает октаэдр с самим собой.
Общее число осей симметрии правильного октаэдра: $3 + 4 + 6 = 13$.
Ответ: 13.