Номер 359, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

359. Докажите, что:

а) около куба можно описать и в куб можно вписать шар;

б) около правильного тэтраэдра можно описать и в него можно вписать шар;

в) около правильного октаэдра можно описать и в него можно вписать шар.

а) около куба можно описать и в куб можно вписать шар;

Рассмотрим куб с ребром $a$. У куба есть центр симметрии — точка пересечения его пространственных диагоналей. Обозначим эту точку $O$.

Описанный шар:

Шар можно описать около многогранника, если существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Покажем, что центр куба $O$ является такой точкой.

Все пространственные диагонали куба равны и пересекаются в одной точке $O$, делясь в ней пополам. Длина пространственной диагонали куба равна $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$. Расстояние от центра $O$ до любой вершины куба равно половине длины диагонали, то есть $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Так как точка $O$ равноудалена от всех восьми вершин куба, то сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ пройдет через все вершины куба. Следовательно, около куба можно описать шар.

Вписанный шар:

Шар можно вписать в многогранник, если существует точка, равноудаленная от всех его граней. Покажем, что центр куба $O$ является такой точкой.

Центр куба $O$ равноудален от каждой из шести его граней. Расстояние от центра до любой грани равно половине длины ребра куба, то есть $r = \frac{a}{2}$.

Так как точка $O$ равноудалена от всех шести граней куба, то сфера с центром в точке $O$ и радиусом $r = \frac{a}{2}$ будет касаться всех граней куба. Следовательно, в куб можно вписать шар.

Таким образом, для куба существуют и описанный, и вписанный шары, причем их центры совпадают.

Ответ: Доказано.

б) около правильного тетраэдра можно описать и в него можно вписать шар;

Правильный тетраэдр — это многогранник, все грани которого являются равными равносторонними треугольниками. У правильного тетраэдра высоты (а также медианы и биссектрисы двугранных углов) пересекаются в одной точке $O$. Эта точка является центром тетраэдра.

Описанный шар:

Покажем, что точка $O$ равноудалена от всех вершин тетраэдра. Пусть $D H$ — высота тетраэдра, опущенная на основание $ABC$. Точка $H$ — центр треугольника $ABC$. Любая точка на высоте $D H$ равноудалена от вершин $A, B, C$. Аналогично, любая точка на высоте, опущенной из вершины $A$, равноудалена от вершин $B, C, D$. Точка их пересечения $O$ будет равноудалена от всех четырех вершин $A, B, C, D$.

Расстояние от точки $O$ до любой вершины является радиусом описанного шара $R$. Известно, что центр правильного тетраэдра делит его высоту в отношении $3:1$, считая от вершины. Если высота тетраэдра с ребром $a$ равна $H = a\sqrt{\frac{2}{3}}$, то $R = \frac{3}{4}H = \frac{3}{4}a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Поскольку существует точка $O$, равноудаленная от всех вершин, около правильного тетраэдра можно описать шар.

Вписанный шар:

Покажем, что точка $O$ равноудалена от всех граней тетраэдра. Точка $O$ является точкой пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов тетраэдра, а значит, она равноудалена от всех его четырех граней.

Расстояние от точки $O$ до любой грани является радиусом вписанного шара $r$. Это расстояние равно оставшейся части высоты: $r = \frac{1}{4}H = \frac{1}{4}a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$.

Поскольку существует точка $O$, равноудаленная от всех граней, в правильный тетраэдр можно вписать шар.

Таким образом, для правильного тетраэдра существуют и описанный, и вписанный шары, и их центры совпадают.

Ответ: Доказано.

в) около правильного октаэдра можно описать и в него можно вписать шар.

Правильный октаэдр — это многогранник, состоящий из восьми граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. У октаэдра есть центр симметрии $O$ — точка пересечения отрезков, соединяющих его противоположные вершины.

Описанный шар:

Покажем, что центр октаэдра $O$ равноудален от всех его вершин. Октаэдр имеет 6 вершин. Отрезки, соединяющие три пары противоположных вершин, равны и пересекаются в точке $O$, делясь в ней пополам. Следовательно, расстояние от точки $O$ до каждой из 6 вершин одинаково.

Если ребро октаэдра равно $a$, то расстояние от центра до вершины (радиус описанного шара) равно $R = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку существует точка $O$, равноудаленная от всех вершин, около правильного октаэдра можно описать шар.

Вписанный шар:

Покажем, что точка $O$ равноудалена от всех граней октаэдра. В силу симметрии октаэдра, его центр $O$ равноудален от всех восьми граней.

Расстояние от центра $O$ до центра любой грани является радиусом вписанного шара. Если ребро октаэдра равно $a$, то это расстояние равно $r = \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Поскольку существует точка $O$, равноудаленная от всех граней, в правильный октаэдр можно вписать шар.

Таким образом, для правильного октаэдра существуют и описанный, и вписанный шары, и их центры совпадают.

Ответ: Доказано.