Номер 352, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

352*. Ребра трехгранного угла с вершиной $S$, плоские углы которого прямые, пересекает плоскость $\alpha$ в точках $A, B, C$. Докажите, что:

а) площадь каждого из треугольников $SAB, SAC, SBC$ есть среднее геометрическое площади проекции этого треугольника на плоскость $\alpha$ и площади треугольника $ABC$;

б) сумма квадратов площадей треугольников $SAB, SAC, SBC$ равна квадрату площади треугольника $ABC$.

Пусть ребра трехгранного угла лежат на осях прямоугольной декартовой системы координат с началом в вершине S. Обозначим длины отрезков, отсекаемых плоскостью $\alpha$ на осях, как $SA = a$, $SB = b$, $SC = c$. Тогда вершины имеют координаты: $S(0,0,0)$, $A(a,0,0)$, $B(0,b,0)$, $C(0,0,c)$.

Треугольники $SAB$, $SAC$, $SBC$ являются прямоугольными, так как их стороны лежат на осях координат. Их площади равны:

• $S_{SAB} = \frac{1}{2} SA \cdot SB = \frac{1}{2} ab$
• $S_{SAC} = \frac{1}{2} SA \cdot SC = \frac{1}{2} ac$
• $S_{SBC} = \frac{1}{2} SB \cdot SC = \frac{1}{2} bc$

Площадь треугольника $ABC$ можно найти как половину модуля векторного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AB} = (-a, b, 0)$, $\vec{AC} = (-a, 0, c)$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = (bc, ac, ab)$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{(bc)^2 + (ac)^2 + (ab)^2}$

а) докажите, что площадь каждого из треугольников $SAB$, $SAC$, $SBC$ есть среднее геометрическое площади проекции этого треугольника на плоскость $\alpha$ и площади треугольника $ABC$.

Рассмотрим доказательство для треугольника $SAB$. Для треугольников $SAC$ и $SBC$ доказательство аналогично.

Пусть $\gamma$ - это двугранный угол между плоскостью треугольника $SAB$ (координатная плоскость $xy$) и плоскостью $\alpha$ (плоскость треугольника $ABC$).

Согласно теореме о площади ортогональной проекции многоугольника, площадь проекции треугольника $SAB$ на плоскость $\alpha$, обозначим ее $S_{proj(SAB)}$, равна:

$S_{proj(SAB)} = S_{SAB} \cdot \cos\gamma$

С другой стороны, рассмотрим проекцию треугольника $ABC$ на координатную плоскость $xy$. Проекциями вершин $A$, $B$, $C$ на плоскость $xy$ являются точки $A(a,0,0)$, $B(0,b,0)$ и $S(0,0,0)$ соответственно. Таким образом, проекцией треугольника $ABC$ на плоскость $xy$ является треугольник $SAB$.

Снова используя теорему о площади проекции, получаем:

$S_{SAB} = S_{ABC} \cdot \cos\gamma$

Из этого соотношения выразим $\cos\gamma$:

$\cos\gamma = \frac{S_{SAB}}{S_{ABC}}$

Подставим это выражение для $\cos\gamma$ в первую формулу:

$S_{proj(SAB)} = S_{SAB} \cdot \frac{S_{SAB}}{S_{ABC}} = \frac{S_{SAB}^2}{S_{ABC}}$

Отсюда получаем:

$S_{SAB}^2 = S_{proj(SAB)} \cdot S_{ABC}$

Поскольку площади являются неотрицательными величинами, это равенство эквивалентно тому, что $S_{SAB}$ является средним геометрическим $S_{proj(SAB)}$ и $S_{ABC}$:

$S_{SAB} = \sqrt{S_{proj(SAB)} \cdot S_{ABC}}$

Аналогичные рассуждения для треугольников $SAC$ и $SBC$ приводят к выводу, что $S_{SAC}^2 = S_{proj(SAC)} \cdot S_{ABC}$ и $S_{SBC}^2 = S_{proj(SBC)} \cdot S_{ABC}$. Таким образом, утверждение доказано для всех трех треугольников.

Ответ: Утверждение доказано.

б) докажите, что сумма квадратов площадей треугольников $SAB$, $SAC$, $SBC$ равна квадрату площади треугольника $ABC$.

Это утверждение известно как теорема де Гуа, или пространственная теорема Пифагора. Для доказательства воспользуемся соотношениями, полученными при решении пункта а).

Пусть $\gamma_{xy}$, $\gamma_{xz}$, $\gamma_{yz}$ - это углы, которые плоскость $\alpha$ образует с координатными плоскостями $xy$, $xz$ и $yz$ соответственно. Как мы показали в пункте а):

• $S_{SAB} = S_{ABC} \cdot \cos\gamma_{xy}$
• $S_{SAC} = S_{ABC} \cdot \cos\gamma_{xz}$
• $S_{SBC} = S_{ABC} \cdot \cos\gamma_{yz}$

Для трех взаимно перпендикулярных плоскостей (в нашем случае, координатных плоскостей) и произвольной четвертой плоскости (в нашем случае, $\alpha$) существует теорема, утверждающая, что сумма квадратов косинусов углов между четвертой плоскостью и тремя перпендикулярными плоскостями равна единице:

$\cos^2\gamma_{xy} + \cos^2\gamma_{xz} + \cos^2\gamma_{yz} = 1$

Возведем в квадрат выражения для площадей и сложим их:

$S_{SAB}^2 + S_{SAC}^2 + S_{SBC}^2 = (S_{ABC} \cdot \cos\gamma_{xy})^2 + (S_{ABC} \cdot \cos\gamma_{xz})^2 + (S_{ABC} \cdot \cos\gamma_{yz})^2$

Вынесем $S_{ABC}^2$ за скобки:

$S_{SAB}^2 + S_{SAC}^2 + S_{SBC}^2 = S_{ABC}^2 (\cos^2\gamma_{xy} + \cos^2\gamma_{xz} + \cos^2\gamma_{yz})$

Используя тождество для суммы квадратов косинусов, получаем:

$S_{SAB}^2 + S_{SAC}^2 + S_{SBC}^2 = S_{ABC}^2 \cdot 1 = S_{ABC}^2$

Таким образом, мы доказали, что $S_{SAB}^2 + S_{SAC}^2 + S_{SBC}^2 = S_{ABC}^2$.

Ответ: Утверждение доказано.