Номер 10, страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

10. Сколько граней, сколько ребер, сколько вершин имеет тетраэдр; гексаэдр; октаэдр; додекаэдр; икосаэдр?

тетраэдр

Тетраэдр — это многогранник, ограниченный четырьмя треугольными гранями. Он является простейшим из правильных многогранников (Платоновых тел).
Количество граней (Г): 4.
Количество ребер (Р): 6.
Количество вершин (В): 4.
Для всех выпуклых многогранников справедливо соотношение Эйлера: $В - Р + Г = 2$. Проверим для тетраэдра: $4 - 6 + 4 = 2$.
Ответ: 4 грани, 6 ребер, 4 вершины.

гексаэдр

Гексаэдр, или куб, — это правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.
Количество граней (Г): 6.
Количество ребер (Р): 12.
Количество вершин (В): 8.
Проверка по соотношению Эйлера: $8 - 12 + 6 = 2$.
Ответ: 6 граней, 12 ребер, 8 вершин.

октаэдр

Октаэдр — это правильный многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников.
Количество граней (Г): 8.
Количество ребер (Р): 12.
Количество вершин (В): 6.
Проверка по соотношению Эйлера: $6 - 12 + 8 = 2$.
Ответ: 8 граней, 12 ребер, 6 вершин.

додекаэдр

Додекаэдр — это правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников.
Количество граней (Г): 12.
Количество ребер (Р): 30. Каждая из 12 граней имеет 5 ребер, и каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому число ребер равно $(12 \times 5) / 2 = 30$.
Количество вершин (В): 20. В каждой вершине сходятся 3 грани, поэтому число вершин равно $(12 \times 5) / 3 = 20$.
Проверка по соотношению Эйлера: $20 - 30 + 12 = 2$.
Ответ: 12 граней, 30 ребер, 20 вершин.

икосаэдр

Икосаэдр — это правильный многогранник, состоящий из двадцати равносторонних треугольников.
Количество граней (Г): 20.
Количество ребер (Р): 30. Каждая из 20 граней имеет 3 ребра, и каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому число ребер равно $(20 \times 3) / 2 = 30$.
Количество вершин (В): 12. В каждой вершине сходятся 5 граней, поэтому число вершин равно $(20 \times 3) / 5 = 12$.
Проверка по соотношению Эйлера: $12 - 30 + 20 = 2$.
Ответ: 20 граней, 30 ребер, 12 вершин.