Номер 5, страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Какому условию удовлетворяет сумма плоских углов многогранного угла?

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла удовлетворяет следующему условию: она всегда меньше $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан).

Дадим развернутое доказательство этого утверждения. Пусть имеется выпуклый многогранный угол с вершиной в точке $O$ и рёбрами, образующими плоские углы $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$. Сумма этих углов $S = \alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n$ является искомой величиной.

Пересечём все рёбра многогранного угла некоторой плоскостью, не проходящей через вершину $O$. В сечении получится выпуклый $n$-угольник $A_1A_2\dots A_n$. Таким образом, мы получаем $n$-угольную пирамиду с вершиной $O$ и основанием $A_1A_2\dots A_n$. Боковыми гранями этой пирамиды являются треугольники $\triangle A_1OA_2, \triangle A_2OA_3, \dots, \triangle A_nOA_1$.

Сумма всех углов в этих $n$ треугольниках, составляющих боковую поверхность пирамиды, равна $n \cdot 180^\circ$. Эта общая сумма складывается из двух частей:
1. Суммы плоских углов при вершине $O$, то есть $S$.
2. Суммы углов при вершинах основания ($A_1, A_2, \dots, A_n$) в этих треугольниках. Обозначим эту сумму $S_{основания\;треугольников}$.
Следовательно, мы можем записать равенство: $S + S_{основания\;треугольников} = n \cdot 180^\circ$.

Теперь рассмотрим сумму внутренних углов многоугольника $A_1A_2\dots A_n$ в основании. По известной формуле, она равна $S_{многоугольника} = (n-2) \cdot 180^\circ$.

При каждой вершине основания (например, при вершине $A_k$) образуется трёхгранный угол с вершиной $A_k$. Его плоские углы — это внутренний угол многоугольника при вершине $A_k$ и два угла при основании боковых граней, сходящиеся в этой вершине. Для любого трёхгранного угла справедливо свойство: любой его плоский угол меньше суммы двух других. Применительно к нашему случаю, внутренний угол многоугольника при вершине $A_k$ меньше суммы двух прилежащих к нему углов боковых граней: $\angle A_{k-1}A_k A_{k+1} < \angle OA_k A_{k-1} + \angle OA_k A_{k+1}$.

Просуммировав это неравенство по всем вершинам основания от $A_1$ до $A_n$, мы получим, что сумма всех внутренних углов многоугольника в основании меньше суммы всех углов при основании в боковых треугольных гранях:
$S_{многоугольника} < S_{основания\;треугольников}$
$(n-2) \cdot 180^\circ < S_{основания\;треугольников}$

Из равенства $S + S_{основания\;треугольников} = n \cdot 180^\circ$ выразим $S$:
$S = n \cdot 180^\circ - S_{основания\;треугольников}$.
Используя полученное выше неравенство, а именно $S_{основания\;треугольников} > (n-2) \cdot 180^\circ$, мы можем заключить:
$S < n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ$
$S < (n - n + 2) \cdot 180^\circ$
$S < 2 \cdot 180^\circ$
$S < 360^\circ$

Таким образом, доказано, что сумма плоских углов любого выпуклого многогранного угла всегда строго меньше $360^\circ$.

Ответ: Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла всегда меньше $360^\circ$.