Номер 349, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

349*. В шаровой сегмент, дуга осевого сечения которого равна $\alpha$, вписан шар с объемом $V$. Найдите разность объемов сегмента и шара.

Пусть $R$ — радиус большого шара, из которого получен шаровой сегмент, $h$ — высота сегмента. Пусть $r$ — радиус вписанного в сегмент шара. Объем вписанного шара по условию равен $V$.

Объем шара радиуса $r$ вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Отсюда мы можем выразить радиус вписанного шара: $r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле $V_{сег} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$. Нам необходимо найти разность объемов $\Delta V = V_{сег} - V$. Для этого нужно выразить $V_{сег}$ через $V$ и $\alpha$.

Рассмотрим осевое сечение. Оно представляет собой сегмент круга радиуса $R$. Дуга этого сегмента, согласно условию, равна $\alpha$. Это означает, что центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен $\alpha$. Высота сегмента $h$ связана с радиусом $R$ и углом $\alpha$ следующим соотношением (рассматривая прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды и перпендикуляром из центра на хорду):$h = R - R \cos(\frac{\alpha}{2}) = R(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))$.

Шар, вписанный в шаровой сегмент, касается основания сегмента и его сферической поверхности. Его центр лежит на оси симметрии сегмента. Пусть $O$ — центр большого шара, а $O'$ — центр вписанного шара. Так как вписанный шар касается основания, расстояние от его центра $O'$ до плоскости основания равно его радиусу $r$. Расстояние от центра $O$ до плоскости основания сегмента равно $R-h$. Тогда расстояние между центрами $O$ и $O'$ равно $OO' = (R-h)+r$. С другой стороны, так как вписанный шар касается сферической поверхности большого шара изнутри, расстояние между их центрами равно разности радиусов: $OO' = R-r$. Приравнивая два выражения для $OO'$, получаем:$R-h+r = R-r$$h = 2r$. Таким образом, высота шарового сегмента в два раза больше радиуса вписанного в него шара.

Теперь мы можем связать радиус большого шара $R$ с радиусом вписанного шара $r$ и углом $\alpha$:$2r = R(1 - \cos(\frac{\alpha}{2})) \implies R = \frac{2r}{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Подставим выражения для $h$ и $R$ в формулу объема сегмента:$V_{сег} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3}) = \pi (2r)^2 (\frac{2r}{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})} - \frac{2r}{3})$$V_{сег} = 4\pi r^2 \cdot 2r (\frac{1}{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})} - \frac{1}{3})$$V_{сег} = 8\pi r^3 (\frac{3 - (1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))}{3(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))}) = 8\pi r^3 \frac{2 + \cos(\frac{\alpha}{2})}{3(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))}$.

Теперь выразим объем сегмента через заданный объем $V$. Мы знаем, что $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, откуда $8\pi r^3 = 6V$.$V_{сег} = 6V \frac{2 + \cos(\frac{\alpha}{2})}{3(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))} = 2V \frac{2 + \cos(\frac{\alpha}{2})}{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Найдем искомую разность объемов:$\Delta V = V_{сег} - V = 2V \frac{2 + \cos(\frac{\alpha}{2})}{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})} - V$$\Delta V = V \left( 2 \frac{2 + \cos(\frac{\alpha}{2})}{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})} - 1 \right) = V \left( \frac{4 + 2\cos(\frac{\alpha}{2}) - (1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))}{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})} \right)$$\Delta V = V \frac{3 + 3\cos(\frac{\alpha}{2})}{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})} = 3V \frac{1 + \cos(\frac{\alpha}{2})}{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Используя тригонометрические формулы понижения степени (или формулы двойного угла):$1 + \cos(\theta) = 2\cos^2(\frac{\theta}{2})$$1 - \cos(\theta) = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$Применив их для $\theta = \frac{\alpha}{2}$, получим:$\frac{1 + \cos(\frac{\alpha}{2})}{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2\cos^2(\frac{\alpha}{4})}{2\sin^2(\frac{\alpha}{4})} = \cot^2(\frac{\alpha}{4})$.

Окончательно, подставляя это в выражение для разности объемов:$\Delta V = 3V \cot^2(\frac{\alpha}{4})$.

Ответ: $3V \cot^2(\frac{\alpha}{4})$.